Страница 93 номер 4.2.18, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить систему неравенств (4.2.15—4.2.18). 1) \(\begin{cases} \frac{x - 1}{2} < \frac{2 - x}{3}, \\ \frac{2x - 1}{3} > \frac{2 - 3x}{4}; \end{cases}\) 2) \(\begin{cases} \frac{4x - 3}{4} < \frac{5 - x}{6}, \\ \frac{6 - 5x}{3} < \frac{x + 1}{9}. \end{cases}\)
1) Умножим первое неравенство на \(6\), второе — на \(12\): \[\begin{cases} 3(x - 1) < 2(2 - x), \\ 4(2x - 1) > 3(2 - 3x); \end{cases} \qquad \begin{cases} 3x - 3 < 4 - 2x, \\ 8x - 4 > 6 - 9x; \end{cases} \qquad \begin{cases} 3x + 2x < 4 + 3, \\ 8x + 9x > 6 + 4. \end{cases}\]
\[\begin{cases} 5x < 7, \\ 17x > 10; \end{cases} \qquad \begin{cases} x < 1{,}4, \\ x > \frac{10}{17}. \end{cases}\]
Оба неравенства верны при \(\frac{10}{17} < x < 1{,}4\).
2) Умножим первое неравенство на \(12\), второе — на \(9\): \[\begin{cases} 3(4x - 3) < 2(5 - x), \\ 3(6 - 5x) < x + 1; \end{cases} \qquad \begin{cases} 12x - 9 < 10 - 2x, \\ 18 - 15x < x + 1; \end{cases} \qquad \begin{cases} 12x + 2x < 10 + 9, \\ -15x - x < 1 - 18. \end{cases}\]
\[\begin{cases} 14x < 19, \\ -16x < -17. \end{cases}\]
Разделим первое неравенство на \(14\), а второе на \(-16\), изменив при этом знак второго неравенства на противоположный: \[\begin{cases} x < \frac{19}{14}, \\ x > \frac{17}{16}. \end{cases}\]
Оба неравенства верны при \(\frac{17}{16} < x < \frac{19}{14}\).
Ответ: 1) \(\frac{10}{17} < x < 1{,}4\); 2) \(\frac{17}{16} < x < \frac{19}{14}\).
Решить систему неравенств (4.2.15—4.2.18). 1) \(\begin{cases} \frac{x - 1}{2} < \frac{2 - x}{3}, \\ \frac{2x - 1}{3} > \frac{2 - 3x}{4}; \end{cases}\) 2) \(\begin{cases} \frac{4x - 3}{4} < \frac{5 - x}{6}, \\ \frac{6 - 5x}{3} < \frac{x + 1}{9}. \end{cases}\)
1) Умножим обе части первого неравенства на \(6\), а обе части второго — на \(12\); эти числа положительны, поэтому знаки неравенств сохраняются: \[\begin{cases} 3(x - 1) < 2(2 - x), \\ 4(2x - 1) > 3(2 - 3x). \end{cases}\]
Раскроем скобки: \[\begin{cases} 3x - 3 < 4 - 2x, \\ 8x - 4 > 6 - 9x; \end{cases} \qquad \begin{cases} 3x + 2x < 4 + 3, \\ 8x + 9x > 6 + 4. \end{cases}\]
\[\begin{cases} 5x < 7, \\ 17x > 10; \end{cases} \qquad \begin{cases} x < 1{,}4, \\ x > \frac{10}{17}. \end{cases}\]
Оба неравенства верны при \(\frac{10}{17} < x < 1{,}4\).
2) Умножим обе части первого неравенства на \(12\), а обе части второго — на \(9\): \[\begin{cases} 3(4x - 3) < 2(5 - x), \\ 3(6 - 5x) < x + 1. \end{cases}\]
Раскроем скобки: \[\begin{cases} 12x - 9 < 10 - 2x, \\ 18 - 15x < x + 1; \end{cases} \qquad \begin{cases} 12x + 2x < 10 + 9, \\ -15x - x < 1 - 18. \end{cases}\]
\[\begin{cases} 14x < 19, \\ -16x < -17. \end{cases}\]
Разделим первое неравенство на \(14\), а второе на \(-16\), изменив при этом знак второго неравенства на противоположный: \[\begin{cases} x < \frac{19}{14}, \\ x > \frac{17}{16}. \end{cases}\]
Оба неравенства верны при \(\frac{17}{16} < x < \frac{19}{14}\).
Ответ: 1) \(\frac{10}{17} < x < 1{,}4\); 2) \(\frac{17}{16} < x < \frac{19}{14}\).
