Страница 92 номер 4.2.17, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить систему неравенств (4.2.15—4.2.18). 1) \(\begin{cases} 4(x - 1) < 3x + 1, \\ -3x + 7 \ge 4(1 - x); \end{cases}\) 2) \(\begin{cases} 3(2x - 1) \le 5x - 2, \\ 5(2 - x) > 2(2 - 3x); \end{cases}\) 3) \(\begin{cases} 4x + 11 < 3x + 8, \\ 7 - 4x > 6 - 5x; \end{cases}\) 4) \(\begin{cases} 1 - 5x \le 1 - 6x, \\ 2x - 7 \ge x - 5; \end{cases}\) 5) \(\begin{cases} -3(x + 2) \ge 1 - 4x, \\ 5x + 1 \ge 2(x + 5); \end{cases}\) 6) \(\begin{cases} 3x - 2 > 5x + 2, \\ 3x + 7 < 3 - x; \end{cases}\) 7) \(\begin{cases} 5{,}2x - 0{,}8 > 1{,}2(x - 1), \\ 1{,}6x - 6{,}6 < 0{,}4x + 1{,}4; \end{cases}\) 8) \(\begin{cases} 8{,}3x + 5{,}5 \ge 2{,}3x - 3{,}5, \\ 1{,}7x - 2{,}1 \le 1{,}3(3 - x). \end{cases}\)
1) \[\begin{cases} 4x - 4 < 3x + 1, \\ -3x + 7 \geqslant 4 - 4x; \end{cases} \qquad \begin{cases} 4x - 3x < 1 + 4, \\ -3x + 4x \geqslant 4 - 7; \end{cases} \qquad \begin{cases} x < 5, \\ x \geqslant -3. \end{cases}\]
Оба неравенства верны при \(-3 \leqslant x < 5\).
2) \[\begin{cases} 6x - 3 \leqslant 5x - 2, \\ 10 - 5x > 4 - 6x; \end{cases} \qquad \begin{cases} 6x - 5x \leqslant -2 + 3, \\ -5x + 6x > 4 - 10; \end{cases} \qquad \begin{cases} x \leqslant 1, \\ x > -6. \end{cases}\]
Оба неравенства верны при \(-6 < x \leqslant 1\).
3) \[\begin{cases} 4x - 3x < 8 - 11, \\ -4x + 5x > 6 - 7; \end{cases} \qquad \begin{cases} x < -3, \\ x > -1. \end{cases}\]
У множества чисел, меньших \(-3\), и множества чисел, больших \(-1\), общих элементов нет, их пересечение пусто: система решений не имеет.
4) \[\begin{cases} -5x + 6x \leqslant 1 - 1, \\ 2x - x \geqslant -5 + 7; \end{cases} \qquad \begin{cases} x \leqslant 0, \\ x \geqslant 2. \end{cases}\]
Ни одно число не может быть одновременно не больше \(0\) и не меньше \(2\): пересечение множеств решений пусто, система решений не имеет.
5) \[\begin{cases} -3x - 6 \geqslant 1 - 4x, \\ 5x + 1 \geqslant 2x + 10; \end{cases} \qquad \begin{cases} -3x + 4x \geqslant 1 + 6, \\ 5x - 2x \geqslant 10 - 1; \end{cases} \qquad \begin{cases} x \geqslant 7, \\ 3x \geqslant 9; \end{cases} \qquad \begin{cases} x \geqslant 7, \\ x \geqslant 3. \end{cases}\]
Оба неравенства верны при \(x \geqslant 7\).
6) \[\begin{cases} 3x - 5x > 2 + 2, \\ 3x + x < 3 - 7; \end{cases} \qquad \begin{cases} -2x > 4, \\ 4x < -4. \end{cases}\]
Разделим первое неравенство на \(-2\), изменив при этом знак неравенства на противоположный, а второе разделим на \(4\): \[\begin{cases} x < -2, \\ x < -1. \end{cases}\]
Оба неравенства верны при \(x < -2\).
7) \[\begin{cases} 5{,}2x - 0{,}8 > 1{,}2x - 1{,}2, \\ 1{,}6x - 6{,}6 < 0{,}4x + 1{,}4; \end{cases} \qquad \begin{cases} 5{,}2x - 1{,}2x > -1{,}2 + 0{,}8, \\ 1{,}6x - 0{,}4x < 1{,}4 + 6{,}6; \end{cases} \qquad \begin{cases} 4x > -0{,}4, \\ 1{,}2x < 8; \end{cases} \qquad \begin{cases} x > -0{,}1, \\ x < \frac{20}{3}. \end{cases}\]
Оба неравенства верны при \(-0{,}1 < x < \frac{20}{3}\).
8) \[\begin{cases} 8{,}3x + 5{,}5 \geqslant 2{,}3x - 3{,}5, \\ 1{,}7x - 2{,}1 \leqslant 3{,}9 - 1{,}3x; \end{cases} \qquad \begin{cases} 8{,}3x - 2{,}3x \geqslant -3{,}5 - 5{,}5, \\ 1{,}7x + 1{,}3x \leqslant 3{,}9 + 2{,}1; \end{cases} \qquad \begin{cases} 6x \geqslant -9, \\ 3x \leqslant 6; \end{cases} \qquad \begin{cases} x \geqslant -1{,}5, \\ x \leqslant 2. \end{cases}\]
Оба неравенства верны при \(-1{,}5 \leqslant x \leqslant 2\).
Ответ: 1) \(-3 \leqslant x < 5\); 2) \(-6 < x \leqslant 1\); 3) нет решений; 4) нет решений; 5) \(x \geqslant 7\); 6) \(x < -2\); 7) \(-0{,}1 < x < \frac{20}{3}\); 8) \(-1{,}5 \leqslant x \leqslant 2\).
Решить систему неравенств (4.2.15—4.2.18). 1) \(\begin{cases} 4(x - 1) < 3x + 1, \\ -3x + 7 \ge 4(1 - x); \end{cases}\) 2) \(\begin{cases} 3(2x - 1) \le 5x - 2, \\ 5(2 - x) > 2(2 - 3x); \end{cases}\) 3) \(\begin{cases} 4x + 11 < 3x + 8, \\ 7 - 4x > 6 - 5x; \end{cases}\) 4) \(\begin{cases} 1 - 5x \le 1 - 6x, \\ 2x - 7 \ge x - 5; \end{cases}\) 5) \(\begin{cases} -3(x + 2) \ge 1 - 4x, \\ 5x + 1 \ge 2(x + 5); \end{cases}\) 6) \(\begin{cases} 3x - 2 > 5x + 2, \\ 3x + 7 < 3 - x; \end{cases}\) 7) \(\begin{cases} 5{,}2x - 0{,}8 > 1{,}2(x - 1), \\ 1{,}6x - 6{,}6 < 0{,}4x + 1{,}4; \end{cases}\) 8) \(\begin{cases} 8{,}3x + 5{,}5 \ge 2{,}3x - 3{,}5, \\ 1{,}7x - 2{,}1 \le 1{,}3(3 - x). \end{cases}\)
1) Раскроем скобки в каждом неравенстве системы: \[\begin{cases} 4x - 4 < 3x + 1, \\ -3x + 7 \geqslant 4 - 4x. \end{cases}\]
Перенесём слагаемые с переменной в левую часть неравенств, а числа — в правую: \[\begin{cases} 4x - 3x < 1 + 4, \\ -3x + 4x \geqslant 4 - 7; \end{cases} \qquad \begin{cases} x < 5, \\ x \geqslant -3. \end{cases}\]
Общие решения этих неравенств образуют полуинтервал: оба неравенства верны при \(-3 \leqslant x < 5\).
2) Раскроем скобки: \[\begin{cases} 6x - 3 \leqslant 5x - 2, \\ 10 - 5x > 4 - 6x. \end{cases}\]
\[\begin{cases} 6x - 5x \leqslant -2 + 3, \\ -5x + 6x > 4 - 10; \end{cases} \qquad \begin{cases} x \leqslant 1, \\ x > -6. \end{cases}\]
Оба неравенства верны при \(-6 < x \leqslant 1\).
3) \[\begin{cases} 4x - 3x < 8 - 11, \\ -4x + 5x > 6 - 7; \end{cases} \qquad \begin{cases} x < -3, \\ x > -1. \end{cases}\]
Множество чисел, меньших \(-3\), и множество чисел, больших \(-1\), общих элементов не имеют, их пересечение пусто: система решений не имеет.
4) \[\begin{cases} -5x + 6x \leqslant 1 - 1, \\ 2x - x \geqslant -5 + 7; \end{cases} \qquad \begin{cases} x \leqslant 0, \\ x \geqslant 2. \end{cases}\]
Ни одно число не может быть одновременно не больше \(0\) и не меньше \(2\): пересечение множеств решений пусто, система решений не имеет.
5) Раскроем скобки: \[\begin{cases} -3x - 6 \geqslant 1 - 4x, \\ 5x + 1 \geqslant 2x + 10. \end{cases}\]
\[\begin{cases} -3x + 4x \geqslant 1 + 6, \\ 5x - 2x \geqslant 10 - 1; \end{cases} \qquad \begin{cases} x \geqslant 7, \\ 3x \geqslant 9. \end{cases}\] \[\begin{cases} x \geqslant 7, \\ x \geqslant 3. \end{cases}\]
Оба неравенства верны при \(x \geqslant 7\).
6) \[\begin{cases} 3x - 5x > 2 + 2, \\ 3x + x < 3 - 7; \end{cases} \qquad \begin{cases} -2x > 4, \\ 4x < -4. \end{cases}\]
Разделим первое неравенство на \(-2\), изменив при этом знак неравенства на противоположный, а второе разделим на \(4\): \[\begin{cases} x < -2, \\ x < -1. \end{cases}\]
Оба неравенства верны при \(x < -2\).
7) Раскроем скобки: \[\begin{cases} 5{,}2x - 0{,}8 > 1{,}2x - 1{,}2, \\ 1{,}6x - 6{,}6 < 0{,}4x + 1{,}4. \end{cases}\]
\[\begin{cases} 5{,}2x - 1{,}2x > -1{,}2 + 0{,}8, \\ 1{,}6x - 0{,}4x < 1{,}4 + 6{,}6; \end{cases} \qquad \begin{cases} 4x > -0{,}4, \\ 1{,}2x < 8. \end{cases}\]
Разделим первое неравенство на \(4\), а второе на \(1{,}2\): \[\begin{cases} x > -0{,}1, \\ x < \frac{20}{3}. \end{cases}\]
Оба неравенства верны при \(-0{,}1 < x < \frac{20}{3}\).
8) Раскроем скобки во втором неравенстве: \[\begin{cases} 8{,}3x + 5{,}5 \geqslant 2{,}3x - 3{,}5, \\ 1{,}7x - 2{,}1 \leqslant 3{,}9 - 1{,}3x. \end{cases}\]
\[\begin{cases} 8{,}3x - 2{,}3x \geqslant -3{,}5 - 5{,}5, \\ 1{,}7x + 1{,}3x \leqslant 3{,}9 + 2{,}1; \end{cases} \qquad \begin{cases} 6x \geqslant -9, \\ 3x \leqslant 6. \end{cases}\] \[\begin{cases} x \geqslant -1{,}5, \\ x \leqslant 2. \end{cases}\]
Оба неравенства верны при \(-1{,}5 \leqslant x \leqslant 2\).
Ответ: 1) \(-3 \leqslant x < 5\); 2) \(-6 < x \leqslant 1\); 3) нет решений; 4) нет решений; 5) \(x \geqslant 7\); 6) \(x < -2\); 7) \(-0{,}1 < x < \frac{20}{3}\); 8) \(-1{,}5 \leqslant x \leqslant 2\).
