Страница 92 номер 4.2.16, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить систему неравенств (4.2.15—4.2.18). 1) \(\begin{cases} 3x - 1 > 0, \\ 2x + 3 \ge 0; \end{cases}\) 2) \(\begin{cases} 5x + 2 \ge 0, \\ 4x - 3 > 0; \end{cases}\) 3) \(\begin{cases} 7x + 12 < 0, \\ 6x - 11 < 0; \end{cases}\) 4) \(\begin{cases} 8x - 25 < 0, \\ 9x + 20 < 0; \end{cases}\) 5) \(\begin{cases} 4 - 5x \ge 0, \\ 3x + 1 \ge 0; \end{cases}\) 6) \(\begin{cases} 5x + 7 \le 0, \\ 2 - 4x \le 0; \end{cases}\) 7) \(\begin{cases} 4x + 6 \le 0, \\ 1 - 3x < 0; \end{cases}\) 8) \(\begin{cases} 9 - 10x > 0, \\ 8x + 3 \ge 0. \end{cases}\)
Там, где обе части делятся на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.
1) \(3x - 1 > 0\), \(3x > 1\), \(x > \frac{1}{3}\); \(2x + 3 \geqslant 0\), \(2x \geqslant -3\), \(x \geqslant -1{,}5\). Оба неравенства верны при \(x > \frac{1}{3}\);
2) \(5x + 2 \geqslant 0\), \(5x \geqslant -2\), \(x \geqslant -0{,}4\); \(4x - 3 > 0\), \(4x > 3\), \(x > 0{,}75\). Оба неравенства верны при \(x > 0{,}75\);
3) \(7x + 12 < 0\), \(7x < -12\), \(x < -1\frac{5}{7}\); \(6x - 11 < 0\), \(6x < 11\), \(x < 1\frac{5}{6}\). Всякое число, меньшее \(-1\frac{5}{7}\), меньше и \(1\frac{5}{6}\): оба неравенства верны при \(x < -1\frac{5}{7}\);
4) \(8x - 25 < 0\), \(8x < 25\), \(x < 3\frac{1}{8}\); \(9x + 20 < 0\), \(9x < -20\), \(x < -2\frac{2}{9}\). Всякое число, меньшее \(-2\frac{2}{9}\), меньше и \(3\frac{1}{8}\): оба неравенства верны при \(x < -2\frac{2}{9}\);
5) \(4 - 5x \geqslant 0\), \(-5x \geqslant -4\), \(x \leqslant 0{,}8\); \(3x + 1 \geqslant 0\), \(3x \geqslant -1\), \(x \geqslant -\frac{1}{3}\). Оба неравенства верны при \(-\frac{1}{3} \leqslant x \leqslant 0{,}8\);
6) \(5x + 7 \leqslant 0\), \(5x \leqslant -7\), \(x \leqslant -1{,}4\); \(2 - 4x \leqslant 0\), \(-4x \leqslant -2\), \(x \geqslant 0{,}5\). Числа, не большие \(-1{,}4\), и числа, не меньшие \(0{,}5\), общих элементов не имеют: система решений не имеет;
7) \(4x + 6 \leqslant 0\), \(4x \leqslant -6\), \(x \leqslant -1{,}5\); \(1 - 3x < 0\), \(-3x < -1\), \(x > \frac{1}{3}\). Числа, не большие \(-1{,}5\), и числа, большие \(\frac{1}{3}\), общих элементов не имеют: система решений не имеет;
8) \(9 - 10x > 0\), \(-10x > -9\), \(x < 0{,}9\); \(8x + 3 \geqslant 0\), \(8x \geqslant -3\), \(x \geqslant -0{,}375\). Оба неравенства верны при \(-0{,}375 \leqslant x < 0{,}9\).
Ответ: 1) \(x > \frac{1}{3}\); 2) \(x > 0{,}75\); 3) \(x < -1\frac{5}{7}\); 4) \(x < -2\frac{2}{9}\); 5) \(-\frac{1}{3} \leqslant x \leqslant 0{,}8\); 6) нет решений; 7) нет решений; 8) \(-0{,}375 \leqslant x < 0{,}9\).
Решить систему неравенств (4.2.15—4.2.18). 1) \(\begin{cases} 3x - 1 > 0, \\ 2x + 3 \ge 0; \end{cases}\) 2) \(\begin{cases} 5x + 2 \ge 0, \\ 4x - 3 > 0; \end{cases}\) 3) \(\begin{cases} 7x + 12 < 0, \\ 6x - 11 < 0; \end{cases}\) 4) \(\begin{cases} 8x - 25 < 0, \\ 9x + 20 < 0; \end{cases}\) 5) \(\begin{cases} 4 - 5x \ge 0, \\ 3x + 1 \ge 0; \end{cases}\) 6) \(\begin{cases} 5x + 7 \le 0, \\ 2 - 4x \le 0; \end{cases}\) 7) \(\begin{cases} 4x + 6 \le 0, \\ 1 - 3x < 0; \end{cases}\) 8) \(\begin{cases} 9 - 10x > 0, \\ 8x + 3 \ge 0. \end{cases}\)
Заменим каждое неравенство системы равносильным ему неравенством вида \(x > a\), \(x < a\), \(x \geqslant a\) или \(x \leqslant a\), а затем найдём общую часть множеств решений.
1) \(3x - 1 > 0\), \(3x > 1\), \(x > \frac{1}{3}\); \(2x + 3 \geqslant 0\), \(2x \geqslant -3\), \(x \geqslant -1{,}5\). Всякое число, большее \(\frac{1}{3}\), больше и \(-1{,}5\), поэтому оба неравенства верны при \(x > \frac{1}{3}\);
2) \(5x + 2 \geqslant 0\), \(5x \geqslant -2\), \(x \geqslant -0{,}4\); \(4x - 3 > 0\), \(4x > 3\), \(x > 0{,}75\). Всякое число, большее \(0{,}75\), больше и \(-0{,}4\), поэтому оба неравенства верны при \(x > 0{,}75\);
3) \(7x + 12 < 0\), \(7x < -12\), \(x < -1\frac{5}{7}\); \(6x - 11 < 0\), \(6x < 11\), \(x < 1\frac{5}{6}\). Всякое число, меньшее \(-1\frac{5}{7}\), меньше и \(1\frac{5}{6}\), поэтому оба неравенства верны при \(x < -1\frac{5}{7}\);
4) \(8x - 25 < 0\), \(8x < 25\), \(x < 3\frac{1}{8}\); \(9x + 20 < 0\), \(9x < -20\), \(x < -2\frac{2}{9}\). Всякое число, меньшее \(-2\frac{2}{9}\), меньше и \(3\frac{1}{8}\), поэтому оба неравенства верны при \(x < -2\frac{2}{9}\);
5) \(4 - 5x \geqslant 0\), \(-5x \geqslant -4\), разделим обе части на \(-5\), изменив при этом знак неравенства на противоположный: \(x \leqslant 0{,}8\); \(3x + 1 \geqslant 0\), \(3x \geqslant -1\), \(x \geqslant -\frac{1}{3}\). Оба неравенства верны при \(-\frac{1}{3} \leqslant x \leqslant 0{,}8\);
6) \(5x + 7 \leqslant 0\), \(5x \leqslant -7\), \(x \leqslant -1{,}4\); \(2 - 4x \leqslant 0\), \(-4x \leqslant -2\), разделим обе части на \(-4\), изменив знак неравенства на противоположный: \(x \geqslant 0{,}5\). Числа, не большие \(-1{,}4\), и числа, не меньшие \(0{,}5\), общих элементов не имеют: система решений не имеет;
7) \(4x + 6 \leqslant 0\), \(4x \leqslant -6\), \(x \leqslant -1{,}5\); \(1 - 3x < 0\), \(-3x < -1\), разделим обе части на \(-3\), изменив знак неравенства на противоположный: \(x > \frac{1}{3}\). Числа, не большие \(-1{,}5\), и числа, большие \(\frac{1}{3}\), общих элементов не имеют: система решений не имеет;
8) \(9 - 10x > 0\), \(-10x > -9\), разделим обе части на \(-10\), изменив знак неравенства на противоположный: \(x < 0{,}9\); \(8x + 3 \geqslant 0\), \(8x \geqslant -3\), \(x \geqslant -0{,}375\). Оба неравенства верны при \(-0{,}375 \leqslant x < 0{,}9\).
Ответ: 1) \(x > \frac{1}{3}\); 2) \(x > 0{,}75\); 3) \(x < -1\frac{5}{7}\); 4) \(x < -2\frac{2}{9}\); 5) \(-\frac{1}{3} \leqslant x \leqslant 0{,}8\); 6) нет решений; 7) нет решений; 8) \(-0{,}375 \leqslant x < 0{,}9\).
