Страница 85 номер 4.1.6, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Доказать, что при любых значениях \(m\) верно неравенство: 1) \((m - 2)(m + 2) - m^2 < 0\); 2) \(m^2 - (m + 3)(m - 3) > 0\); 3) \((m + 3)(m + 4) > (m + 1)(m + 6)\); 4) \((m - 2)(m - 3) > (m - 1)(m - 4)\).
1) \((m - 2)(m + 2) - m^2 = m^2 - 4 - m^2 = -4\), а число \(-4\) отрицательно. Значит, неравенство \((m - 2)(m + 2) - m^2 < 0\) верно при любых значениях \(m\).
2) \(m^2 - (m + 3)(m - 3) = m^2 - m^2 + 9 = 9\), а число 9 положительно. Значит, неравенство \(m^2 - (m + 3)(m - 3) > 0\) верно при любых значениях \(m\).
3) Разность левой и правой частей: \[(m + 3)(m + 4) - (m + 1)(m + 6) = m^2 + 7m + 12 - m^2 - 7m - 6 = 6.\]
Она положительна при любом \(m\). Значит, \((m + 3)(m + 4) > (m + 1)(m + 6)\) при любых значениях \(m\).
4) Разность левой и правой частей: \[(m - 2)(m - 3) - (m - 1)(m - 4) = m^2 - 5m + 6 - m^2 + 5m - 4 = 2.\]
Она положительна при любом \(m\). Значит, \((m - 2)(m - 3) > (m - 1)(m - 4)\) при любых значениях \(m\).
Ответ: при любом \(m\) значение выражения в пункте 1) равно \(-4\), значение выражения в пункте 2) равно 9, разность частей в пункте 3) равна 6, разность частей в пункте 4) равна 2; все четыре неравенства доказаны.
Доказать, что при любых значениях \(m\) верно неравенство: 1) \((m - 2)(m + 2) - m^2 < 0\); 2) \(m^2 - (m + 3)(m - 3) > 0\); 3) \((m + 3)(m + 4) > (m + 1)(m + 6)\); 4) \((m - 2)(m - 3) > (m - 1)(m - 4)\).
Чтобы сравнить два выражения, составляют разность левой и правой частей неравенства и выясняют, какой знак она сохраняет.
1) Преобразуем левую часть: \((m - 2)(m + 2) - m^2 = m^2 - 4 - m^2 = -4\). При любом значении \(m\) левая часть равна \(-4\), а число \(-4\) отрицательно. Значит, неравенство \((m - 2)(m + 2) - m^2 < 0\) верно при любых значениях \(m\).
2) Преобразуем левую часть: \(m^2 - (m + 3)(m - 3) = m^2 - m^2 + 9 = 9\). При любом значении \(m\) левая часть равна 9, а число 9 положительно. Значит, неравенство \(m^2 - (m + 3)(m - 3) > 0\) верно при любых значениях \(m\).
3) Составим разность левой и правой частей: \[\begin{aligned} &(m + 3)(m + 4) - (m + 1)(m + 6) = {} \\ &= m^2 + 7m + 12 - m^2 - 7m - 6 = 6. \end{aligned}\] При любом значении \(m\) эта разность равна 6, то есть положительна. Значит, \((m + 3)(m + 4) > (m + 1)(m + 6)\) при любых значениях \(m\).
4) Составим разность левой и правой частей: \[\begin{aligned} &(m - 2)(m - 3) - (m - 1)(m - 4) = {} \\ &= m^2 - 5m + 6 - m^2 + 5m - 4 = 2. \end{aligned}\] При любом значении \(m\) эта разность равна 2, то есть положительна. Значит, \((m - 2)(m - 3) > (m - 1)(m - 4)\) при любых значениях \(m\).
Ответ: при любом \(m\) значение выражения в пункте 1) равно \(-4\), значение выражения в пункте 2) равно 9, разность частей в пункте 3) равна 6, разность частей в пункте 4) равна 2; все четыре неравенства доказаны.
