Страница 90 номер 4.1.35, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Доказать, что если \(a > b\), то: 1) \(a^2 + a + b^2 - b - 2ab > 0\); 2) \(a^2 + a - b^3 - b - 3a^2b + 3ab^2 > 0\).
По условию \(a > b\), поэтому \(a - b > 0\).
1) Сгруппируем слагаемые и разложим левую часть на множители: \[a^2 + a + b^2 - b - 2ab = \left(a^2 - 2ab + b^2\right) + (a - b) = (a - b)^2 + (a - b) = (a - b)(a - b + 1).\]
Первый множитель положителен, так как \(a - b > 0\); второй тогда больше 1, то есть тоже положителен. Значит, \(a^2 + a + b^2 - b - 2ab > 0\) при \(a > b\).
2) В сборнике в первом слагаемом напечатано \(a^2\) вместо \(a^3\); доказываем неравенство \(a^3 + a - b^3 - b - 3a^2b + 3ab^2 > 0\).
\[a^3 + a - b^3 - b - 3a^2b + 3ab^2 = \left(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\right) + (a - b) = (a - b)^3 + (a - b) = (a - b)\left((a - b)^2 + 1\right).\]
Первый множитель положителен, так как \(a - b > 0\); второй положителен при любых \(a\) и \(b\), так как \((a - b)^2 \geqslant 0\) и \((a - b)^2 + 1 \geqslant 1\). Значит, \(a^3 + a - b^3 - b - 3a^2b + 3ab^2 > 0\) при \(a > b\).
Ответ: левые части раскладываются на множители \((a - b)(a - b + 1)\) и \((a - b)\left((a - b)^2 + 1\right)\); при \(a > b\) каждый множитель положителен, поэтому оба неравенства верны.
Доказать, что если \(a > b\), то: 1) \(a^2 + a + b^2 - b - 2ab > 0\); 2) \(a^2 + a - b^3 - b - 3a^2b + 3ab^2 > 0\).
По условию \(a > b\), поэтому \(a - b > 0\). Это и используется в обоих пунктах.
1) Сгруппируем слагаемые левой части и разложим её на множители: \[\begin{aligned} &a^2 + a + b^2 - b - 2ab = \left(a^2 - 2ab + b^2\right) + (a - b) = {} \\ &= (a - b)^2 + (a - b) = (a - b)(a - b + 1). \end{aligned}\]
Первый множитель положителен, так как \(a - b > 0\). Второй множитель тогда больше 1, то есть тоже положителен. Произведение двух положительных чисел положительно, поэтому \(a^2 + a + b^2 - b - 2ab > 0\) при \(a > b\).
2) В сборнике в первом слагаемом напечатано \(a^2\) вместо \(a^3\); доказываем неравенство \(a^3 + a - b^3 - b - 3a^2b + 3ab^2 > 0\).
Сгруппируем слагаемые левой части и разложим её на множители: \[\begin{aligned} &a^3 + a - b^3 - b - 3a^2b + 3ab^2 = {} \\ &= \left(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\right) + (a - b) = {} \\ &= (a - b)^3 + (a - b) = (a - b)\left((a - b)^2 + 1\right). \end{aligned}\]
Первый множитель положителен, так как \(a - b > 0\). Второй множитель положителен при любых \(a\) и \(b\): квадрат \((a - b)^2\) неотрицателен, поэтому \((a - b)^2 + 1 \geqslant 1\). Произведение двух положительных чисел положительно, поэтому \(a^3 + a - b^3 - b - 3a^2b + 3ab^2 > 0\) при \(a > b\).
Ответ: левые части раскладываются на множители \((a - b)(a - b + 1)\) и \((a - b)\left((a - b)^2 + 1\right)\); при \(a > b\) каждый множитель положителен, поэтому оба неравенства верны.
