Страница 90 номер 4.1.34, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Доказать неравенство: 1) \(a^2 + b^2 + 2 \ge 2(b - a)\); 2) \(a^2 + b^2 + 8 \ge 4(a - b)\); 3) \(a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ac\); 4) \(a^2 + b^2 + c^2 + 12 \ge 4(a + b + c)\).
1) Разность левой и правой частей: \[a^2 + b^2 + 2 - 2(b - a) = a^2 + 2a + b^2 - 2b + 2 = \left(a^2 + 2a + 1\right) + \left(b^2 - 2b + 1\right) = (a + 1)^2 + (b - 1)^2.\]
Сумма двух квадратов неотрицательна. Значит, \(a^2 + b^2 + 2 \geqslant 2(b - a)\) при любых \(a\) и \(b\).
2) Разность левой и правой частей: \[a^2 + b^2 + 8 - 4(a - b) = a^2 - 4a + b^2 + 4b + 8 = \left(a^2 - 4a + 4\right) + \left(b^2 + 4b + 4\right) = (a - 2)^2 + (b + 2)^2.\]
Сумма двух квадратов неотрицательна. Значит, \(a^2 + b^2 + 8 \geqslant 4(a - b)\) при любых \(a\) и \(b\).
3) Разность левой и правой частей равна \(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac\). Умножим её на 2: \[2\left(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac\right) = \left(a^2 - 2ab + b^2\right) + \left(b^2 - 2bc + c^2\right) + \left(a^2 - 2ac + c^2\right) = (a - b)^2 + (b - c)^2 + (a - c)^2.\]
Сумма трёх квадратов неотрицательна, после деления на положительное число 2 разность тоже неотрицательна. Значит, \(a^2 + b^2 + c^2 \geqslant ab + bc + ac\) при любых \(a\), \(b\) и \(c\).
4) Разность левой и правой частей: \[a^2 + b^2 + c^2 + 12 - 4(a + b + c) = \left(a^2 - 4a + 4\right) + \left(b^2 - 4b + 4\right) + \left(c^2 - 4c + 4\right) = (a - 2)^2 + (b - 2)^2 + (c - 2)^2.\]
Сумма трёх квадратов неотрицательна. Значит, \(a^2 + b^2 + c^2 + 12 \geqslant 4(a + b + c)\) при любых \(a\), \(b\) и \(c\).
Ответ: разности левой и правой частей равны \((a + 1)^2 + (b - 1)^2\), \((a - 2)^2 + (b + 2)^2\), половине суммы \((a - b)^2 + (b - c)^2 + (a - c)^2\) и \((a - 2)^2 + (b - 2)^2 + (c - 2)^2\); при любых значениях букв каждая из них неотрицательна, поэтому все четыре неравенства верны.
Доказать неравенство: 1) \(a^2 + b^2 + 2 \ge 2(b - a)\); 2) \(a^2 + b^2 + 8 \ge 4(a - b)\); 3) \(a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ac\); 4) \(a^2 + b^2 + c^2 + 12 \ge 4(a + b + c)\).
В каждом пункте составим разность левой и правой частей неравенства и представим её в виде суммы квадратов.
1) Разность левой и правой частей равна \[\begin{aligned} &a^2 + b^2 + 2 - 2(b - a) = a^2 + 2a + b^2 - 2b + 2 = {} \\ &= \left(a^2 + 2a + 1\right) + \left(b^2 - 2b + 1\right) = (a + 1)^2 + (b - 1)^2. \end{aligned}\]
Каждое слагаемое неотрицательно как квадрат числа, поэтому и вся сумма неотрицательна при любых \(a\) и \(b\). Значит, \(a^2 + b^2 + 2 \geqslant 2(b - a)\) при любых \(a\) и \(b\).
2) Разность левой и правой частей равна \[\begin{aligned} &a^2 + b^2 + 8 - 4(a - b) = a^2 - 4a + b^2 + 4b + 8 = {} \\ &= \left(a^2 - 4a + 4\right) + \left(b^2 + 4b + 4\right) = (a - 2)^2 + (b + 2)^2. \end{aligned}\]
Сумма двух квадратов неотрицательна при любых \(a\) и \(b\). Значит, \(a^2 + b^2 + 8 \geqslant 4(a - b)\) при любых \(a\) и \(b\).
3) Разность левой и правой частей равна \(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac\). Умножим её на 2: \[\begin{aligned} &2\left(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac\right) = {} \\ &= \left(a^2 - 2ab + b^2\right) + \left(b^2 - 2bc + c^2\right) + \left(a^2 - 2ac + c^2\right) = {} \\ &= (a - b)^2 + (b - c)^2 + (a - c)^2. \end{aligned}\]
Сумма трёх квадратов неотрицательна при любых \(a\), \(b\) и \(c\). Разделив её на положительное число 2, снова получим неотрицательное число, поэтому и сама разность неотрицательна. Значит, \(a^2 + b^2 + c^2 \geqslant ab + bc + ac\) при любых \(a\), \(b\) и \(c\).
4) Разность левой и правой частей равна \[\begin{aligned} &a^2 + b^2 + c^2 + 12 - 4(a + b + c) = {} \\ &= \left(a^2 - 4a + 4\right) + \left(b^2 - 4b + 4\right) + \left(c^2 - 4c + 4\right) = {} \\ &= (a - 2)^2 + (b - 2)^2 + (c - 2)^2. \end{aligned}\]
Сумма трёх квадратов неотрицательна при любых \(a\), \(b\) и \(c\). Значит, \(a^2 + b^2 + c^2 + 12 \geqslant 4(a + b + c)\) при любых \(a\), \(b\) и \(c\).
Ответ: разности левой и правой частей равны \((a + 1)^2 + (b - 1)^2\), \((a - 2)^2 + (b + 2)^2\), половине суммы \((a - b)^2 + (b - c)^2 + (a - c)^2\) и \((a - 2)^2 + (b - 2)^2 + (c - 2)^2\); при любых значениях букв каждая из них неотрицательна, поэтому все четыре неравенства верны.
