Страница 89 номер 4.1.33, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Установить, при каких значениях \(a\) верно неравенство: 1) \(a^4 + 1 \ge 0\); 2) \((a - 3)^4 > 0\); 3) \(-a^2 - 1 < 0\); 4) \(-(a + 1)^2 < 0\); 5) \(a^2 + 4a + 5 > 0\); 6) \(a^2 - 3a + 3 \ge 0\).
1) \(a^4 = \left(a^2\right)^2 \geqslant 0\) при любом \(a\), поэтому \(a^4 + 1 \geqslant 1 > 0\), и тем более верно неравенство \(a^4 + 1 \geqslant 0\). Неравенство верно при любом \(a\).
2) \((a - 3)^4 = \left((a - 3)^2\right)^2 \geqslant 0\) при любом \(a\), а нулю равно только при \(a = 3\); при остальных значениях \((a - 3)^4 > 0\). Неравенство верно при \(a \ne 3\).
3) Умножим обе части неравенства \(-a^2 - 1 < 0\) на отрицательное число \(-1\), изменив знак неравенства на противоположный: \(a^2 + 1 > 0\). Так как \(a^2 \geqslant 0\) при любом \(a\), то \(a^2 + 1 \geqslant 1 > 0\). Неравенство верно при любом \(a\).
4) Умножим обе части неравенства \(-(a + 1)^2 < 0\) на отрицательное число \(-1\), изменив знак неравенства на противоположный: \((a + 1)^2 > 0\). Квадрат числа положителен тогда и только тогда, когда само число отлично от нуля: \(a + 1 \ne 0\), откуда \(a \ne -1\). Неравенство верно при \(a \ne -1\).
5) Выделим квадрат двучлена: \(a^2 + 4a + 5 = \left(a^2 + 4a + 4\right) + 1 = (a + 2)^2 + 1\). Так как \((a + 2)^2 \geqslant 0\), то \((a + 2)^2 + 1 \geqslant 1 > 0\). Неравенство верно при любом \(a\).
6) Выделим квадрат двучлена: \(a^2 - 3a + 3 = \left(a^2 - 3a + \frac{9}{4}\right) + \frac{3}{4} = \left(a - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\). Так как \(\left(a - \frac{3}{2}\right)^2 \geqslant 0\), то это выражение не меньше \(\frac{3}{4}\), а значит, положительно. Неравенство верно при любом \(a\).
Ответ: 1) при любом \(a\); 2) при \(a \ne 3\); 3) при любом \(a\); 4) при \(a \ne -1\); 5) при любом \(a\); 6) при любом \(a\).
Установить, при каких значениях \(a\) верно неравенство: 1) \(a^4 + 1 \ge 0\); 2) \((a - 3)^4 > 0\); 3) \(-a^2 - 1 < 0\); 4) \(-(a + 1)^2 < 0\); 5) \(a^2 + 4a + 5 > 0\); 6) \(a^2 - 3a + 3 \ge 0\).
Квадрат любого числа неотрицателен, причём он равен нулю только тогда, когда само число равно нулю. Этим и определяется ответ в каждом пункте.
1) Так как \(a^4 = \left(a^2\right)^2\), то \(a^4 \geqslant 0\) при любом \(a\). Прибавим к обеим частям число 1: \(a^4 + 1 \geqslant 1\). Так как \(1 > 0\), то \(a^4 + 1 > 0\) при любом \(a\), а тогда тем более верно и неравенство \(a^4 + 1 \geqslant 0\).
Неравенство верно при любом \(a\).
2) Так как \((a - 3)^4 = \left((a - 3)^2\right)^2\), то \((a - 3)^4 \geqslant 0\) при любом \(a\). Нулю это выражение равно только при \(a - 3 = 0\), то есть при \(a = 3\); при всех остальных значениях \((a - 3)^4 > 0\).
Неравенство верно при \(a \ne 3\).
3) Умножим обе части неравенства \(-a^2 - 1 < 0\) на отрицательное число \(-1\), изменив знак неравенства на противоположный: \(a^2 + 1 > 0\). Так как \(a^2 \geqslant 0\) при любом \(a\), то \(a^2 + 1 \geqslant 1 > 0\), то есть неравенство \(a^2 + 1 > 0\) верно при любом \(a\).
Неравенство верно при любом \(a\).
4) Умножим обе части неравенства \(-(a + 1)^2 < 0\) на отрицательное число \(-1\), изменив знак неравенства на противоположный: \((a + 1)^2 > 0\). Квадрат числа положителен тогда и только тогда, когда само число отлично от нуля, то есть при \(a + 1 \ne 0\), откуда \(a \ne -1\).
Неравенство верно при \(a \ne -1\).
5) Выделим квадрат двучлена: \(a^2 + 4a + 5 = \left(a^2 + 4a + 4\right) + 1 = (a + 2)^2 + 1\). Так как \((a + 2)^2 \geqslant 0\) при любом \(a\), то \((a + 2)^2 + 1 \geqslant 1 > 0\).
Неравенство верно при любом \(a\).
6) Выделим квадрат двучлена: \(a^2 - 3a + 3 = \left(a^2 - 3a + \frac{9}{4}\right) + \frac{3}{4} = \left(a - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\). Так как \(\left(a - \frac{3}{2}\right)^2 \geqslant 0\) при любом \(a\), то это выражение не меньше \(\frac{3}{4}\), а значит, положительно, и тем более верно неравенство \(a^2 - 3a + 3 \geqslant 0\).
Неравенство верно при любом \(a\).
Ответ: 1) при любом \(a\); 2) при \(a \ne 3\); 3) при любом \(a\); 4) при \(a \ne -1\); 5) при любом \(a\); 6) при любом \(a\).
