Страница 89 номер 4.1.30, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Пусть \(2 \le a \le 4\), \(4 \le b \le 6\). Оценить: 1) \(a + 3b\); 2) \(2a - 3b\); 3) \(\frac{3ab}{2} - 1\); 4) \(\frac{3b}{a} - 2\).
1) Умножим все части \(4 \leqslant b \leqslant 6\) на положительное число 3: \(12 \leqslant 3b \leqslant 18\). Сложим почленно с \(2 \leqslant a \leqslant 4\): \(14 \leqslant a + 3b \leqslant 22\).
2) Представим разность в виде суммы \(2a + (-3b)\). Умножим все части \(2 \leqslant a \leqslant 4\) на 2: \(4 \leqslant 2a \leqslant 8\). Умножим все части \(12 \leqslant 3b \leqslant 18\) на \(-1\), изменив знаки неравенств на противоположные: \(-18 \leqslant -3b \leqslant -12\).
Сложим почленно: \(-14 \leqslant 2a - 3b \leqslant -4\).
3) Все части неравенств \(2 \leqslant a \leqslant 4\) и \(4 \leqslant b \leqslant 6\) положительны, перемножим их почленно: \(8 \leqslant ab \leqslant 24\). Умножим все части на положительное число \(\frac{3}{2}\): \(12 \leqslant \frac{3ab}{2} \leqslant 36\); прибавим ко всем частям число \(-1\): \(11 \leqslant \frac{3ab}{2} - 1 \leqslant 35\).
4) Представим частное в виде произведения \(3b \cdot \frac{1}{a}\). Умножим все части \(4 \leqslant b \leqslant 6\) на 3: \(12 \leqslant 3b \leqslant 18\). Числа 2, \(a\) и 4 положительны, поэтому \(\frac{1}{4} \leqslant \frac{1}{a} \leqslant \frac{1}{2}\).
Все части положительны, перемножим почленно: \(12 \cdot \frac{1}{4} \leqslant \frac{3b}{a} \leqslant 18 \cdot \frac{1}{2}\), то есть \(3 \leqslant \frac{3b}{a} \leqslant 9\); прибавим ко всем частям число \(-2\): \(1 \leqslant \frac{3b}{a} - 2 \leqslant 7\).
Ответ: 1) \(14 \leqslant a + 3b \leqslant 22\); 2) \(-14 \leqslant 2a - 3b \leqslant -4\); 3) \(11 \leqslant \frac{3ab}{2} - 1 \leqslant 35\); 4) \(1 \leqslant \frac{3b}{a} - 2 \leqslant 7\).
Пусть \(2 \le a \le 4\), \(4 \le b \le 6\). Оценить: 1) \(a + 3b\); 2) \(2a - 3b\); 3) \(\frac{3ab}{2} - 1\); 4) \(\frac{3b}{a} - 2\).
1) Умножим все части неравенства \(4 \leqslant b \leqslant 6\) на положительное число 3: \(12 \leqslant 3b \leqslant 18\).
Сложим почленно неравенства \(2 \leqslant a \leqslant 4\) и \(12 \leqslant 3b \leqslant 18\): \(14 \leqslant a + 3b \leqslant 22\).
2) Представим разность \(2a - 3b\) в виде суммы \(2a + (-3b)\). Умножим все части неравенства \(2 \leqslant a \leqslant 4\) на 2: \(4 \leqslant 2a \leqslant 8\). Умножим все части неравенства \(12 \leqslant 3b \leqslant 18\) на \(-1\), изменив знаки неравенств на противоположные: \(-18 \leqslant -3b \leqslant -12\).
Сложим почленно неравенства \(4 \leqslant 2a \leqslant 8\) и \(-18 \leqslant -3b \leqslant -12\): \(-14 \leqslant 2a - 3b \leqslant -4\).
3) Все части неравенств \(2 \leqslant a \leqslant 4\) и \(4 \leqslant b \leqslant 6\) положительны, поэтому эти неравенства можно перемножить почленно: \(8 \leqslant ab \leqslant 24\). Умножим все части на положительное число \(\frac{3}{2}\): \(12 \leqslant \frac{3ab}{2} \leqslant 36\). Прибавим ко всем частям число \(-1\): \(11 \leqslant \frac{3ab}{2} - 1 \leqslant 35\).
4) Представим частное \(\frac{3b}{a}\) в виде произведения \(3b \cdot \frac{1}{a}\). Умножим все части неравенства \(4 \leqslant b \leqslant 6\) на 3: \(12 \leqslant 3b \leqslant 18\). Числа 2, \(a\) и 4 положительны, поэтому \(\frac{1}{4} \leqslant \frac{1}{a} \leqslant \frac{1}{2}\).
Все части полученных неравенств положительны, перемножим их почленно: \(12 \cdot \frac{1}{4} \leqslant \frac{3b}{a} \leqslant 18 \cdot \frac{1}{2}\), то есть \(3 \leqslant \frac{3b}{a} \leqslant 9\). Прибавим ко всем частям число \(-2\): \(1 \leqslant \frac{3b}{a} - 2 \leqslant 7\).
Ответ: 1) \(14 \leqslant a + 3b \leqslant 22\); 2) \(-14 \leqslant 2a - 3b \leqslant -4\); 3) \(11 \leqslant \frac{3ab}{2} - 1 \leqslant 35\); 4) \(1 \leqslant \frac{3b}{a} - 2 \leqslant 7\).
