Страница 89 номер 4.1.29, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Пусть \(1 < a < 2\), \(3 < b < 4\). Оценить: 1) \(2a + b\); 2) \(a - 3b\); 3) \(\frac{ab}{2}\); 4) \(\frac{2a}{b}\).
1) Умножим все части \(1 < a < 2\) на положительное число 2: \(2 < 2a < 4\).
Сложим почленно \(2 < 2a\) и \(3 < b\): \(5 < 2a + b\); сложим почленно \(2a < 4\) и \(b < 4\): \(2a + b < 8\). Значит, \(5 < 2a + b < 8\).
2) Представим разность в виде суммы \(a + (-3b)\). Умножим все части \(3 < b < 4\) на 3: \(9 < 3b < 12\); умножим на \(-1\), изменив знаки неравенств на противоположные: \(-12 < -3b < -9\).
Сложим почленно с \(1 < a < 2\): \(-11 < a - 3b < -7\).
3) Все части неравенств \(1 < a < 2\) и \(3 < b < 4\) положительны, перемножим их почленно: \(3 < ab < 8\). Разделим все части на положительное число 2: \(1{,}5 < \frac{ab}{2} < 4\).
4) Представим частное в виде произведения \(2a \cdot \frac{1}{b}\). Умножим все части \(1 < a < 2\) на 2: \(2 < 2a < 4\). Числа 3, \(b\) и 4 положительны, поэтому \(\frac{1}{4} < \frac{1}{b} < \frac{1}{3}\).
Все части положительны, перемножим почленно: \(2 \cdot \frac{1}{4} < \frac{2a}{b} < 4 \cdot \frac{1}{3}\), то есть \(\frac{1}{2} < \frac{2a}{b} < 1\frac{1}{3}\).
Ответ: 1) \(5 < 2a + b < 8\); 2) \(-11 < a - 3b < -7\); 3) \(1{,}5 < \frac{ab}{2} < 4\); 4) \(\frac{1}{2} < \frac{2a}{b} < 1\frac{1}{3}\).
Пусть \(1 < a < 2\), \(3 < b < 4\). Оценить: 1) \(2a + b\); 2) \(a - 3b\); 3) \(\frac{ab}{2}\); 4) \(\frac{2a}{b}\).
1) Умножим все части неравенства \(1 < a < 2\) на положительное число 2: \(2 < 2a < 4\).
Сложим почленно неравенства \(2 < 2a\) и \(3 < b\): \(5 < 2a + b\). Сложим почленно неравенства \(2a < 4\) и \(b < 4\): \(2a + b < 8\).
Значит, \(5 < 2a + b < 8\).
2) Представим разность \(a - 3b\) в виде суммы \(a + (-3b)\) и сначала оценим выражение \(-3b\). Умножим все части неравенства \(3 < b < 4\) на 3: \(9 < 3b < 12\); умножим все части на \(-1\), изменив знаки неравенств на противоположные: \(-12 < -3b < -9\).
Сложим почленно неравенства \(1 < a < 2\) и \(-12 < -3b < -9\): \(-11 < a - 3b < -7\).
3) Все части неравенств \(1 < a < 2\) и \(3 < b < 4\) положительны, поэтому эти неравенства можно перемножить почленно: \(3 < ab < 8\). Разделим все части на положительное число 2: \(1{,}5 < \frac{ab}{2} < 4\).
4) Представим частное \(\frac{2a}{b}\) в виде произведения \(2a \cdot \frac{1}{b}\). Умножим все части неравенства \(1 < a < 2\) на 2: \(2 < 2a < 4\). Числа 3, \(b\) и 4 положительны, поэтому \(\frac{1}{4} < \frac{1}{b} < \frac{1}{3}\).
Все части неравенств \(2 < 2a < 4\) и \(\frac{1}{4} < \frac{1}{b} < \frac{1}{3}\) положительны, перемножим их почленно: \(2 \cdot \frac{1}{4} < \frac{2a}{b} < 4 \cdot \frac{1}{3}\), то есть \(\frac{1}{2} < \frac{2a}{b} < 1\frac{1}{3}\).
Ответ: 1) \(5 < 2a + b < 8\); 2) \(-11 < a - 3b < -7\); 3) \(1{,}5 < \frac{ab}{2} < 4\); 4) \(\frac{1}{2} < \frac{2a}{b} < 1\frac{1}{3}\).
