Страница 88 номер 4.1.21, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Доказать, что: 1) \(9a^2 + 1 \ge 6a\) при любом \(a\); 2) \(0{,}25b^2 + 4 \ge 2b\) при любом \(b\); 3) \(4x^2 + \frac{1}{x^2} \ge 4\) при \(x \ne 0\); 4) \(y + \frac{1}{y} \ge 2\) при \(y > 0\).
1) Разность левой и правой частей: \(9a^2 + 1 - 6a = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 1 + 1^2 = (3a - 1)^2\). Квадрат числа неотрицателен, значит, \(9a^2 + 1 \geqslant 6a\) при любом \(a\).
2) Разность левой и правой частей: \(0{,}25b^2 + 4 - 2b = (0{,}5b)^2 - 2 \cdot 0{,}5b \cdot 2 + 2^2 = (0{,}5b - 2)^2\). Квадрат числа неотрицателен, значит, \(0{,}25b^2 + 4 \geqslant 2b\) при любом \(b\).
3) При \(x \ne 0\) разность равна \[4x^2 + \frac{1}{x^2} - 4 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x}\right)^2 = \left(2x - \frac{1}{x}\right)^2.\]
Квадрат числа неотрицателен, значит, \(4x^2 + \frac{1}{x^2} \geqslant 4\) при \(x \ne 0\).
4) При \(y > 0\) разность равна \(y + \frac{1}{y} - 2 = \frac{y^2 - 2y + 1}{y} = \frac{(y - 1)^2}{y}\). Числитель неотрицателен как квадрат числа, знаменатель при \(y > 0\) положителен, поэтому дробь неотрицательна. Значит, \(y + \frac{1}{y} \geqslant 2\) при \(y > 0\).
Ответ: разности левой и правой частей равны \((3a - 1)^2\), \((0{,}5b - 2)^2\), \(\left(2x - \frac{1}{x}\right)^2\) и \(\frac{(y - 1)^2}{y}\); при указанных в условии значениях переменных каждая из них неотрицательна, поэтому все четыре неравенства верны.
Доказать, что: 1) \(9a^2 + 1 \ge 6a\) при любом \(a\); 2) \(0{,}25b^2 + 4 \ge 2b\) при любом \(b\); 3) \(4x^2 + \frac{1}{x^2} \ge 4\) при \(x \ne 0\); 4) \(y + \frac{1}{y} \ge 2\) при \(y > 0\).
В каждом пункте составим разность левой и правой частей неравенства и выясним, какой знак она имеет при указанных значениях переменной.
1) Разность равна \(9a^2 + 1 - 6a = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 1 + 1^2 = (3a - 1)^2\).
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому разность неотрицательна при любом \(a\). Значит, \(9a^2 + 1 \geqslant 6a\) при любом \(a\).
2) Разность равна \(0{,}25b^2 + 4 - 2b = (0{,}5b)^2 - 2 \cdot 0{,}5b \cdot 2 + 2^2 = (0{,}5b - 2)^2\).
Эта разность неотрицательна при любом \(b\) как квадрат числа. Значит, \(0{,}25b^2 + 4 \geqslant 2b\) при любом \(b\).
3) При \(x \ne 0\) разность равна \[4x^2 + \frac{1}{x^2} - 4 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x}\right)^2 = \left(2x - \frac{1}{x}\right)^2.\]
Эта разность неотрицательна как квадрат числа. Значит, \(4x^2 + \frac{1}{x^2} \geqslant 4\) при \(x \ne 0\).
4) При \(y > 0\) разность равна \(y + \frac{1}{y} - 2 = \frac{y^2 - 2y + 1}{y} = \frac{(y - 1)^2}{y}\).
Числитель этой дроби неотрицателен как квадрат числа, а знаменатель при \(y > 0\) положителен, поэтому и сама дробь неотрицательна. Значит, \(y + \frac{1}{y} \geqslant 2\) при \(y > 0\).
Ответ: разности левой и правой частей равны \((3a - 1)^2\), \((0{,}5b - 2)^2\), \(\left(2x - \frac{1}{x}\right)^2\) и \(\frac{(y - 1)^2}{y}\); при указанных в условии значениях переменных каждая из них неотрицательна, поэтому все четыре неравенства верны.
