Страница 88 номер 4.1.20, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Доказать, что если: 1) \(3a + 4b > 11b - 4a\), то \(a > b\); 2) \(15y + 2x > 10x + 7y\), то \(x < y\); 3) \((m - 3)(m + 4) \le (m + 2)(m - 5)\), то \(m \le 0{,}5\); 4) \((n - 7)(n + 2) \ge (n + 3)(n - 6)\), то \(n \le 2\); 5) \((a - 1)^3 + 9a^2 > (a + 2)^3\), то \(a < -1\); 6) \((b + 3)^3 > (b - 2)^3 + 15b^2\), то \(b > -2\frac{1}{3}\).
1) Прибавим к обеим частям данного неравенства число \(4a\): \(7a + 4b > 11b\); прибавим \(-4b\): \(7a > 7b\); разделим на положительное число 7: \(a > b\), что и требовалось доказать.
2) Прибавим к обеим частям данного неравенства число \(-7y\): \(8y + 2x > 10x\); прибавим \(-2x\): \(8y > 8x\); разделим на 8: \(y > x\), то есть \(x < y\).
3) \((m - 3)(m + 4) = m^2 + m - 12\) и \((m + 2)(m - 5) = m^2 - 3m - 10\), поэтому неравенство принимает вид \(m^2 + m - 12 \leqslant m^2 - 3m - 10\).
Прибавим \(-m^2\): \(m - 12 \leqslant -3m - 10\); прибавим \(3m + 12\): \(4m \leqslant 2\); разделим на 4: \(m \leqslant 0{,}5\).
4) \((n - 7)(n + 2) = n^2 - 5n - 14\) и \((n + 3)(n - 6) = n^2 - 3n - 18\), поэтому неравенство принимает вид \(n^2 - 5n - 14 \geqslant n^2 - 3n - 18\).
Прибавим \(-n^2 + 3n + 14\): \(-2n \geqslant -4\); разделим на отрицательное число \(-2\), изменив знак неравенства на противоположный: \(n \leqslant 2\).
5) \((a - 1)^3 = a^3 - 3a^2 + 3a - 1\) и \((a + 2)^3 = a^3 + 6a^2 + 12a + 8\), левая часть равна \(a^3 - 3a^2 + 3a - 1 + 9a^2 = a^3 + 6a^2 + 3a - 1\), поэтому неравенство принимает вид \(a^3 + 6a^2 + 3a - 1 > a^3 + 6a^2 + 12a + 8\).
Прибавим \(-a^3 - 6a^2 - 12a + 1\): \(-9a > 9\); разделим на отрицательное число \(-9\), изменив знак неравенства на противоположный: \(a < -1\).
6) \((b + 3)^3 = b^3 + 9b^2 + 27b + 27\), правая часть равна \(b^3 - 6b^2 + 12b - 8 + 15b^2 = b^3 + 9b^2 + 12b - 8\), поэтому неравенство принимает вид \(b^3 + 9b^2 + 27b + 27 > b^3 + 9b^2 + 12b - 8\).
Прибавим \(-b^3 - 9b^2 - 12b - 27\): \(15b > -35\); разделим на положительное число 15: \(b > -\frac{35}{15}\), то есть \(b > -2\frac{1}{3}\).
Ответ: из данных неравенств получены требуемые: 1) \(a > b\); 2) \(x < y\); 3) \(m \leqslant 0{,}5\); 4) \(n \leqslant 2\); 5) \(a < -1\); 6) \(b > -2\frac{1}{3}\).
Доказать, что если: 1) \(3a + 4b > 11b - 4a\), то \(a > b\); 2) \(15y + 2x > 10x + 7y\), то \(x < y\); 3) \((m - 3)(m + 4) \le (m + 2)(m - 5)\), то \(m \le 0{,}5\); 4) \((n - 7)(n + 2) \ge (n + 3)(n - 6)\), то \(n \le 2\); 5) \((a - 1)^3 + 9a^2 > (a + 2)^3\), то \(a < -1\); 6) \((b + 3)^3 > (b - 2)^3 + 15b^2\), то \(b > -2\frac{1}{3}\).
В каждом пункте из данного неравенства свойствами числовых неравенств выводится требуемое.
1) Прибавим к обеим частям неравенства \(3a + 4b > 11b - 4a\) число \(4a\): \(7a + 4b > 11b\). Прибавим к обеим частям число \(-4b\): \(7a > 7b\). Разделим обе части на положительное число 7: \(a > b\), что и требовалось доказать.
2) Прибавим к обеим частям неравенства \(15y + 2x > 10x + 7y\) число \(-7y\): \(8y + 2x > 10x\). Прибавим к обеим частям число \(-2x\): \(8y > 8x\). Разделим обе части на положительное число 8: \(y > x\), то есть \(x < y\).
3) Раскроем скобки в обеих частях: \((m - 3)(m + 4) = m^2 + m - 12\) и \((m + 2)(m - 5) = m^2 - 3m - 10\), поэтому данное неравенство принимает вид \(m^2 + m - 12 \leqslant m^2 - 3m - 10\).
Прибавим к обеим частям число \(-m^2\): \(m - 12 \leqslant -3m - 10\). Прибавим к обеим частям \(3m + 12\): \(4m \leqslant 2\). Разделим обе части на положительное число 4: \(m \leqslant 0{,}5\).
4) Раскроем скобки: \((n - 7)(n + 2) = n^2 - 5n - 14\) и \((n + 3)(n - 6) = n^2 - 3n - 18\), поэтому данное неравенство принимает вид \(n^2 - 5n - 14 \geqslant n^2 - 3n - 18\).
Прибавим к обеим частям \(-n^2 + 3n + 14\): \(-2n \geqslant -4\). Разделим обе части на отрицательное число \(-2\), изменив знак неравенства на противоположный: \(n \leqslant 2\).
5) Раскроем скобки по формулам куба разности и куба суммы: \((a - 1)^3 = a^3 - 3a^2 + 3a - 1\) и \((a + 2)^3 = a^3 + 6a^2 + 12a + 8\). Тогда левая часть равна \(a^3 - 3a^2 + 3a - 1 + 9a^2 = a^3 + 6a^2 + 3a - 1\), и данное неравенство принимает вид \(a^3 + 6a^2 + 3a - 1 > a^3 + 6a^2 + 12a + 8\).
Прибавим к обеим частям \(-a^3 - 6a^2 - 12a + 1\): \(-9a > 9\). Разделим обе части на отрицательное число \(-9\), изменив знак неравенства на противоположный: \(a < -1\).
6) Раскроем скобки: \((b + 3)^3 = b^3 + 9b^2 + 27b + 27\), а правая часть равна \(b^3 - 6b^2 + 12b - 8 + 15b^2 = b^3 + 9b^2 + 12b - 8\). Данное неравенство принимает вид \(b^3 + 9b^2 + 27b + 27 > b^3 + 9b^2 + 12b - 8\).
Прибавим к обеим частям \(-b^3 - 9b^2 - 12b - 27\): \(15b > -35\). Разделим обе части на положительное число 15: \(b > -\frac{35}{15}\), то есть \(b > -2\frac{1}{3}\).
Ответ: из данных неравенств получены требуемые: 1) \(a > b\); 2) \(x < y\); 3) \(m \leqslant 0{,}5\); 4) \(n \leqslant 2\); 5) \(a < -1\); 6) \(b > -2\frac{1}{3}\).
