Страница 88 номер 4.1.19, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Пусть \(x > 1\), \(y > 3\), \(z > 5\). Доказать, что: 1) \(x + y + z > 9\); 2) \(x + \frac{y}{3} + \frac{z}{5} > 3\); 3) \(\frac{xyz}{3} > 5\); 4) \(x(y + 1)(z + 2) > 28\); 5) \(2xy + \frac{z}{2} > 8{,}5\); 6) \(3x + \frac{yz}{6} > 5{,}5\); 7) \(5x + \frac{y}{9} + z > 10\); 8) \(x + y + \frac{z}{2} > 5\).
Числа \(x\), \(y\), \(z\) положительны, поэтому данные неравенства можно и складывать, и перемножать почленно.
1) Сложим почленно \(x > 1\), \(y > 3\) и \(z > 5\): \(x + y + z > 9\).
2) Разделим \(y > 3\) на 3: \(\frac{y}{3} > 1\); разделим \(z > 5\) на 5: \(\frac{z}{5} > 1\). Сложим почленно с \(x > 1\): \(x + \frac{y}{3} + \frac{z}{5} > 3\).
3) Перемножим почленно \(x > 1\), \(y > 3\), \(z > 5\): \(xyz > 15\). Разделим на 3: \(\frac{xyz}{3} > 5\).
4) Прибавим к обеим частям \(y > 3\) число 1: \(y + 1 > 4\); прибавим к обеим частям \(z > 5\) число 2: \(z + 2 > 7\). Перемножим почленно с \(x > 1\): \(x(y + 1)(z + 2) > 28\).
5) Умножим \(x > 1\) на 2: \(2x > 2\); перемножим почленно с \(y > 3\): \(2xy > 6\). Разделим \(z > 5\) на 2: \(\frac{z}{2} > 2{,}5\).
Сложим почленно: \(2xy + \frac{z}{2} > 8{,}5\).
6) Умножим \(x > 1\) на 3: \(3x > 3\). Перемножим почленно \(y > 3\) и \(z > 5\): \(yz > 15\); разделим на 6: \(\frac{yz}{6} > 2{,}5\).
Сложим почленно: \(3x + \frac{yz}{6} > 5{,}5\).
7) Умножим \(x > 1\) на 5: \(5x > 5\); разделим \(y > 3\) на 9: \(\frac{y}{9} > \frac{1}{3}\). Сложим почленно с \(z > 5\): \(5x + \frac{y}{9} + z > 10\frac{1}{3}\). Так как \(10\frac{1}{3} > 10\), то \(5x + \frac{y}{9} + z > 10\).
8) Разделим \(z > 5\) на 2: \(\frac{z}{2} > 2{,}5\). Сложим почленно с \(x > 1\) и \(y > 3\): \(x + y + \frac{z}{2} > 6{,}5\). Так как \(6{,}5 > 5\), то \(x + y + \frac{z}{2} > 5\).
Ответ: все восемь неравенств доказаны почленным сложением и почленным умножением данных неравенств; в пунктах 7) и 8) получены более сильные оценки \(5x + \frac{y}{9} + z > 10\frac{1}{3}\) и \(x + y + \frac{z}{2} > 6{,}5\), из которых требуемые неравенства и следуют.
Пусть \(x > 1\), \(y > 3\), \(z > 5\). Доказать, что: 1) \(x + y + z > 9\); 2) \(x + \frac{y}{3} + \frac{z}{5} > 3\); 3) \(\frac{xyz}{3} > 5\); 4) \(x(y + 1)(z + 2) > 28\); 5) \(2xy + \frac{z}{2} > 8{,}5\); 6) \(3x + \frac{yz}{6} > 5{,}5\); 7) \(5x + \frac{y}{9} + z > 10\); 8) \(x + y + \frac{z}{2} > 5\).
Каждое из чисел \(x\), \(y\), \(z\) положительно: \(x > 1 > 0\), \(y > 3 > 0\), \(z > 5 > 0\). Поэтому данные неравенства можно и складывать, и перемножать почленно.
1) Сложим почленно три верных неравенства одного знака \(x > 1\), \(y > 3\) и \(z > 5\): \(x + y + z > 1 + 3 + 5\), то есть \(x + y + z > 9\).
2) Разделим обе части неравенства \(y > 3\) на положительное число 3: \(\frac{y}{3} > 1\). Разделим обе части неравенства \(z > 5\) на положительное число 5: \(\frac{z}{5} > 1\).
Сложим почленно неравенства \(x > 1\), \(\frac{y}{3} > 1\) и \(\frac{z}{5} > 1\): \(x + \frac{y}{3} + \frac{z}{5} > 3\).
3) Все части неравенств \(x > 1\), \(y > 3\), \(z > 5\) положительны, поэтому эти неравенства можно перемножить почленно: \(xyz > 1 \cdot 3 \cdot 5 = 15\). Разделим обе части неравенства \(xyz > 15\) на положительное число 3: \(\frac{xyz}{3} > 5\).
4) Прибавим к обеим частям неравенства \(y > 3\) число 1: \(y + 1 > 4\). Прибавим к обеим частям неравенства \(z > 5\) число 2: \(z + 2 > 7\).
Все части неравенств \(x > 1\), \(y + 1 > 4\), \(z + 2 > 7\) положительны, поэтому их можно перемножить почленно: \(x(y + 1)(z + 2) > 1 \cdot 4 \cdot 7 = 28\).
5) Умножим обе части неравенства \(x > 1\) на положительное число 2: \(2x > 2\). Части неравенств \(2x > 2\) и \(y > 3\) положительны, перемножим их почленно: \(2xy > 6\). Разделим обе части неравенства \(z > 5\) на 2: \(\frac{z}{2} > 2{,}5\).
Сложим почленно неравенства \(2xy > 6\) и \(\frac{z}{2} > 2{,}5\): \(2xy + \frac{z}{2} > 8{,}5\).
6) Умножим обе части неравенства \(x > 1\) на 3: \(3x > 3\). Перемножим почленно неравенства \(y > 3\) и \(z > 5\) с положительными частями: \(yz > 15\); разделим обе части на 6: \(\frac{yz}{6} > 2{,}5\).
Сложим почленно неравенства \(3x > 3\) и \(\frac{yz}{6} > 2{,}5\): \(3x + \frac{yz}{6} > 5{,}5\).
7) Умножим обе части неравенства \(x > 1\) на 5: \(5x > 5\). Разделим обе части неравенства \(y > 3\) на 9: \(\frac{y}{9} > \frac{1}{3}\).
Сложим почленно неравенства \(5x > 5\), \(\frac{y}{9} > \frac{1}{3}\) и \(z > 5\): \(5x + \frac{y}{9} + z > 5 + \frac{1}{3} + 5\), то есть \(5x + \frac{y}{9} + z > 10\frac{1}{3}\). Так как \(10\frac{1}{3} > 10\), то \(5x + \frac{y}{9} + z > 10\).
8) Разделим обе части неравенства \(z > 5\) на 2: \(\frac{z}{2} > 2{,}5\). Сложим почленно неравенства \(x > 1\), \(y > 3\) и \(\frac{z}{2} > 2{,}5\): \(x + y + \frac{z}{2} > 6{,}5\). Так как \(6{,}5 > 5\), то \(x + y + \frac{z}{2} > 5\).
Ответ: все восемь неравенств доказаны почленным сложением и почленным умножением данных неравенств; в пунктах 7) и 8) получены более сильные оценки \(5x + \frac{y}{9} + z > 10\frac{1}{3}\) и \(x + y + \frac{z}{2} > 6{,}5\), из которых требуемые неравенства и следуют.
