Страница 88 номер 4.1.18, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Пусть \(a > 5\), \(b < 7\). Доказать, что: 1) \(a + 7 > b + 5\); 2) \(a > b - 2\); 3) \(b + 4 < a + 6\); 4) \(2b - 4 < 2a\).
1) Прибавим к обеим частям \(a > 5\) число 7: \(a + 7 > 12\). Прибавим к обеим частям \(b < 7\) число 5: \(b + 5 < 12\).
Значит, \(b + 5 < 12 < a + 7\), то есть \(a + 7 > b + 5\).
2) Прибавим к обеим частям \(b < 7\) число \(-2\): \(b - 2 < 5\). По условию \(5 < a\).
Значит, \(b - 2 < 5 < a\), то есть \(a > b - 2\).
3) Прибавим к обеим частям \(b < 7\) число 4: \(b + 4 < 11\). Прибавим к обеим частям \(a > 5\) число 6: \(a + 6 > 11\).
Значит, \(b + 4 < 11 < a + 6\), то есть \(b + 4 < a + 6\).
4) Умножим обе части \(b < 7\) на 2: \(2b < 14\); прибавим \(-4\): \(2b - 4 < 10\). Умножим обе части \(a > 5\) на 2: \(2a > 10\).
Значит, \(2b - 4 < 10 < 2a\), то есть \(2b - 4 < 2a\).
Ответ: в каждом пункте обе части сравниваются с одним и тем же числом — с 12 в пункте 1), с 5 в пункте 2), с 11 в пункте 3) и с 10 в пункте 4); все четыре неравенства доказаны.
Пусть \(a > 5\), \(b < 7\). Доказать, что: 1) \(a + 7 > b + 5\); 2) \(a > b - 2\); 3) \(b + 4 < a + 6\); 4) \(2b - 4 < 2a\).
Каждое из неравенств доказывается сравнением обеих его частей с одним и тем же числом: обе части оцениваются по данным условиям, а затем применяется свойство — если первое число меньше второго, а второе меньше третьего, то первое меньше третьего.
1) Прибавим к обеим частям неравенства \(a > 5\) число 7: \(a + 7 > 12\). Прибавим к обеим частям неравенства \(b < 7\) число 5: \(b + 5 < 12\).
Значит, \(b + 5 < 12\) и \(12 < a + 7\), поэтому \(b + 5 < a + 7\), то есть \(a + 7 > b + 5\).
2) Прибавим к обеим частям неравенства \(b < 7\) число \(-2\): \(b - 2 < 5\). По условию \(5 < a\).
Значит, \(b - 2 < 5\) и \(5 < a\), поэтому \(b - 2 < a\), то есть \(a > b - 2\).
3) Прибавим к обеим частям неравенства \(b < 7\) число 4: \(b + 4 < 11\). Прибавим к обеим частям неравенства \(a > 5\) число 6: \(a + 6 > 11\).
Значит, \(b + 4 < 11\) и \(11 < a + 6\), поэтому \(b + 4 < a + 6\).
4) Умножим обе части неравенства \(b < 7\) на положительное число 2: \(2b < 14\); прибавим к обеим частям число \(-4\): \(2b - 4 < 10\). Умножим обе части неравенства \(a > 5\) на 2: \(2a > 10\).
Значит, \(2b - 4 < 10\) и \(10 < 2a\), поэтому \(2b - 4 < 2a\).
Ответ: в каждом пункте обе части сравниваются с одним и тем же числом — с 12 в пункте 1), с 5 в пункте 2), с 11 в пункте 3) и с 10 в пункте 4); все четыре неравенства доказаны.
