Страница 87 номер 4.1.16, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Доказать, что при любом \(b\) отрицательно значение выражения: 1) \((b - 8)(b + 8) - 2b^2\); 2) \((3b + 1)(3b - 1) - 10b^2\); 3) \((0{,}5b - 1)^2 - b^2 + b - 2\); 4) \(\left(\frac{b}{2} + 2\right)^2 - 2b(b + 1) - 5\).
1) \((b - 8)(b + 8) - 2b^2 = b^2 - 64 - 2b^2 = -b^2 - 64\). Так как \(-b^2 \leqslant 0\), то \(-b^2 - 64 \leqslant -64\) — значение выражения отрицательно при любом \(b\).
2) \((3b + 1)(3b - 1) - 10b^2 = 9b^2 - 1 - 10b^2 = -b^2 - 1\). Так как \(-b^2 \leqslant 0\), то \(-b^2 - 1 \leqslant -1\) — значение выражения отрицательно при любом \(b\).
3) \[(0{,}5b - 1)^2 - b^2 + b - 2 = 0{,}25b^2 - b + 1 - b^2 + b - 2 = -0{,}75b^2 - 1.\]
Так как \(-0{,}75b^2 \leqslant 0\), то \(-0{,}75b^2 - 1 \leqslant -1\) — значение выражения отрицательно при любом \(b\).
4) \[\left(\frac{b}{2} + 2\right)^2 - 2b(b + 1) - 5 = \frac{b^2}{4} + 2b + 4 - 2b^2 - 2b - 5 = -\frac{7b^2}{4} - 1.\]
Так как \(-\frac{7b^2}{4} \leqslant 0\), то \(-\frac{7b^2}{4} - 1 \leqslant -1\) — значение выражения отрицательно при любом \(b\).
Ответ: данные выражения равны соответственно \(-b^2 - 64\), \(-b^2 - 1\), \(-0{,}75b^2 - 1\) и \(-\frac{7b^2}{4} - 1\); квадрат любого числа неотрицателен, поэтому при любом \(b\) каждое из этих значений отрицательно.
Доказать, что при любом \(b\) отрицательно значение выражения: 1) \((b - 8)(b + 8) - 2b^2\); 2) \((3b + 1)(3b - 1) - 10b^2\); 3) \((0{,}5b - 1)^2 - b^2 + b - 2\); 4) \(\left(\frac{b}{2} + 2\right)^2 - 2b(b + 1) - 5\).
Квадрат любого числа неотрицателен, а значит, число, противоположное квадрату, не больше нуля. Поэтому достаточно привести каждое выражение к виду «неположительное слагаемое плюс отрицательное число».
1) \((b - 8)(b + 8) - 2b^2 = b^2 - 64 - 2b^2 = -b^2 - 64\). При любом \(b\) имеем \(b^2 \geqslant 0\), значит, \(-b^2 \leqslant 0\) и \(-b^2 - 64 \leqslant -64\), то есть значение выражения отрицательно.
2) \((3b + 1)(3b - 1) - 10b^2 = 9b^2 - 1 - 10b^2 = -b^2 - 1\). При любом \(b\) имеем \(-b^2 \leqslant 0\), значит, \(-b^2 - 1 \leqslant -1\), то есть значение выражения отрицательно.
3) Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: \[\begin{aligned} &(0{,}5b - 1)^2 - b^2 + b - 2 = {} \\ &= 0{,}25b^2 - b + 1 - b^2 + b - 2 = -0{,}75b^2 - 1. \end{aligned}\] При любом \(b\) имеем \(-0{,}75b^2 \leqslant 0\), значит, \(-0{,}75b^2 - 1 \leqslant -1\), то есть значение выражения отрицательно.
4) Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: \[\begin{aligned} &\left(\frac{b}{2} + 2\right)^2 - 2b(b + 1) - 5 = {} \\ &= \frac{b^2}{4} + 2b + 4 - 2b^2 - 2b - 5 = -\frac{7b^2}{4} - 1. \end{aligned}\] При любом \(b\) имеем \(-\frac{7b^2}{4} \leqslant 0\), значит, \(-\frac{7b^2}{4} - 1 \leqslant -1\), то есть значение выражения отрицательно.
Ответ: данные выражения равны соответственно \(-b^2 - 64\), \(-b^2 - 1\), \(-0{,}75b^2 - 1\) и \(-\frac{7b^2}{4} - 1\); квадрат любого числа неотрицателен, поэтому при любом \(b\) каждое из этих значений отрицательно.
