Страница 87 номер 4.1.15, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Доказать, что при любом \(a\) положительно значение выражения: 1) \((a - 3)^2 + 6a\); 2) \((2a + 1)^2 - 4a\); 3) \((3a - 2)(3a + 2) + 5\); 4) \(3 + (5a - 1)(5a + 1)\).
1) \((a - 3)^2 + 6a = a^2 - 6a + 9 + 6a = a^2 + 9\). Так как \(a^2 \geqslant 0\), то \(a^2 + 9 \geqslant 9\) — значение выражения положительно при любом \(a\).
2) \((2a + 1)^2 - 4a = 4a^2 + 4a + 1 - 4a = 4a^2 + 1\). Так как \(4a^2 \geqslant 0\), то \(4a^2 + 1 \geqslant 1\) — значение выражения положительно при любом \(a\).
3) \((3a - 2)(3a + 2) + 5 = 9a^2 - 4 + 5 = 9a^2 + 1\). Так как \(9a^2 \geqslant 0\), то \(9a^2 + 1 \geqslant 1\) — значение выражения положительно при любом \(a\).
4) \(3 + (5a - 1)(5a + 1) = 3 + 25a^2 - 1 = 25a^2 + 2\). Так как \(25a^2 \geqslant 0\), то \(25a^2 + 2 \geqslant 2\) — значение выражения положительно при любом \(a\).
Ответ: данные выражения равны соответственно \(a^2 + 9\), \(4a^2 + 1\), \(9a^2 + 1\) и \(25a^2 + 2\); квадрат любого числа неотрицателен, поэтому при любом \(a\) каждое из этих значений положительно.
Доказать, что при любом \(a\) положительно значение выражения: 1) \((a - 3)^2 + 6a\); 2) \((2a + 1)^2 - 4a\); 3) \((3a - 2)(3a + 2) + 5\); 4) \(3 + (5a - 1)(5a + 1)\).
Квадрат любого числа неотрицателен. Поэтому достаточно привести каждое выражение к виду «неотрицательное слагаемое плюс положительное число».
1) \((a - 3)^2 + 6a = a^2 - 6a + 9 + 6a = a^2 + 9\). При любом \(a\) имеем \(a^2 \geqslant 0\), поэтому \(a^2 + 9 \geqslant 9\), то есть значение выражения положительно.
2) \((2a + 1)^2 - 4a = 4a^2 + 4a + 1 - 4a = 4a^2 + 1\). При любом \(a\) имеем \(4a^2 \geqslant 0\), поэтому \(4a^2 + 1 \geqslant 1\), то есть значение выражения положительно.
3) \((3a - 2)(3a + 2) + 5 = 9a^2 - 4 + 5 = 9a^2 + 1\). При любом \(a\) имеем \(9a^2 \geqslant 0\), поэтому \(9a^2 + 1 \geqslant 1\), то есть значение выражения положительно.
4) \(3 + (5a - 1)(5a + 1) = 3 + 25a^2 - 1 = 25a^2 + 2\). При любом \(a\) имеем \(25a^2 \geqslant 0\), поэтому \(25a^2 + 2 \geqslant 2\), то есть значение выражения положительно.
Ответ: данные выражения равны соответственно \(a^2 + 9\), \(4a^2 + 1\), \(9a^2 + 1\) и \(25a^2 + 2\); квадрат любого числа неотрицателен, поэтому при любом \(a\) каждое из этих значений положительно.
