Страница 87 номер 4.1.12, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Доказать, что если \(x > 3\) и \(y > 6\), то: 1) \(2x + 3y > 24\); 2) \(3x + 2y > 21\); 3) \(\frac{xy}{2} > 9\); 4) \(\frac{xy}{3} > 6\); 5) \(x^2 + y^2 > 45\); 6) \(x^3 + y > 33\); 7) \(xy - 2 > 16\); 8) \(xy + 10 > 28\); 9) \((x + y)^2 > 81\); 10) \((x + 2y)^2 > 225\).
Числа \(x\) и \(y\) положительны, поэтому данные неравенства можно и складывать, и перемножать почленно.
1) Умножим \(x > 3\) на 2: \(2x > 6\); умножим \(y > 6\) на 3: \(3y > 18\). Сложим почленно: \(2x + 3y > 24\).
2) Умножим \(x > 3\) на 3, а \(y > 6\) на 2: \(3x > 9\) и \(2y > 12\). Сложим почленно: \(3x + 2y > 21\).
3) Перемножим почленно \(x > 3\) и \(y > 6\): \(xy > 18\). Разделим на 2: \(\frac{xy}{2} > 9\).
4) Разделим \(xy > 18\) на 3: \(\frac{xy}{3} > 6\).
5) Обе части \(x > 3\) положительны, умножим неравенство почленно само на себя: \(x^2 > 9\); так же из \(y > 6\) получаем \(y^2 > 36\). Сложим почленно: \(x^2 + y^2 > 45\).
6) Перемножим почленно три неравенства \(x > 3\): \(x^3 > 27\). Сложим с \(y > 6\): \(x^3 + y > 33\).
7) Прибавим к обеим частям \(xy > 18\) число \(-2\): \(xy - 2 > 16\).
8) Прибавим к обеим частям \(xy > 18\) число 10: \(xy + 10 > 28\).
9) Сложим почленно \(x > 3\) и \(y > 6\): \(x + y > 9\). Обе части положительны, умножим неравенство почленно само на себя: \((x + y)^2 > 81\).
10) Умножим \(y > 6\) на 2: \(2y > 12\); сложим с \(x > 3\): \(x + 2y > 15\). Обе части положительны, умножим неравенство почленно само на себя: \((x + 2y)^2 > 225\).
Ответ: из условий \(x > 3\) и \(y > 6\) получаются оценки \(2x > 6\), \(3y > 18\), \(3x > 9\), \(2y > 12\), \(xy > 18\), \(x^2 > 9\), \(y^2 > 36\), \(x^3 > 27\), \(x + y > 9\), \(x + 2y > 15\), а из них — все десять данных неравенств; неравенства доказаны.
Доказать, что если \(x > 3\) и \(y > 6\), то: 1) \(2x + 3y > 24\); 2) \(3x + 2y > 21\); 3) \(\frac{xy}{2} > 9\); 4) \(\frac{xy}{3} > 6\); 5) \(x^2 + y^2 > 45\); 6) \(x^3 + y > 33\); 7) \(xy - 2 > 16\); 8) \(xy + 10 > 28\); 9) \((x + y)^2 > 81\); 10) \((x + 2y)^2 > 225\).
По условию \(x > 3\) и \(y > 6\), поэтому числа \(x\) и \(y\) положительны, и все части обоих неравенств — положительные числа.
1) Умножим обе части неравенства \(x > 3\) на положительное число 2: \(2x > 6\). Умножим обе части неравенства \(y > 6\) на положительное число 3: \(3y > 18\). Сложим полученные неравенства почленно: \(2x + 3y > 6 + 18\), то есть \(2x + 3y > 24\).
2) Умножим обе части неравенства \(x > 3\) на 3, а обе части неравенства \(y > 6\) на 2: \(3x > 9\) и \(2y > 12\). Сложим их почленно: \(3x + 2y > 9 + 12\), то есть \(3x + 2y > 21\).
3) Перемножим неравенства \(x > 3\) и \(y > 6\) почленно: \(xy > 18\). Разделим обе части на положительное число 2: \(\frac{xy}{2} > 9\).
4) Разделим обе части неравенства \(xy > 18\) на положительное число 3: \(\frac{xy}{3} > 6\).
5) Обе части неравенства \(x > 3\) положительны, поэтому его можно почленно умножить само на себя: \(x^2 > 9\). Так же из неравенства \(y > 6\) получаем \(y^2 > 36\). Сложим полученные неравенства почленно: \(x^2 + y^2 > 9 + 36\), то есть \(x^2 + y^2 > 45\).
6) Перемножив почленно три верных неравенства \(x > 3\) с положительными частями, получим \(x^3 > 27\). Сложим это неравенство с неравенством \(y > 6\) почленно: \(x^3 + y > 27 + 6\), то есть \(x^3 + y > 33\).
7) Прибавим к обеим частям неравенства \(xy > 18\) число \(-2\): \(xy - 2 > 16\).
8) Прибавим к обеим частям неравенства \(xy > 18\) число 10: \(xy + 10 > 28\).
9) Сложим неравенства \(x > 3\) и \(y > 6\) почленно: \(x + y > 9\). Обе части этого неравенства положительны, поэтому его можно почленно умножить само на себя: \((x + y)^2 > 81\).
10) Умножим обе части неравенства \(y > 6\) на положительное число 2: \(2y > 12\). Сложим это неравенство с неравенством \(x > 3\) почленно: \(x + 2y > 15\). Обе части полученного неравенства положительны, поэтому его можно почленно умножить само на себя: \((x + 2y)^2 > 225\).
Ответ: из условий \(x > 3\) и \(y > 6\) получаются оценки \(2x > 6\), \(3y > 18\), \(3x > 9\), \(2y > 12\), \(xy > 18\), \(x^2 > 9\), \(y^2 > 36\), \(x^3 > 27\), \(x + y > 9\), \(x + 2y > 15\), а из них — все десять данных неравенств; неравенства доказаны.
