Страница 78 номер 3.4.9, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить уравнение (3.4.7—3.4.10): 1) \(\begin{cases}x - 2y = 1,\\ 2xy + y^2 = 3;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}x + 4y = -1,\\ y^2 - xy = 4;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}x^2 + y^2 - 13 = 0,\\ x - y - 1 = 0;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}2x^2 - y^2 + 1 = 0,\\ x + y - 1 = 0;\end{cases}\) 5) \(\begin{cases}x^2 + x - 3y - 8 = 0,\\ 3x - y - 5 = 0;\end{cases}\) 6) \(\begin{cases}x^2 - 2x - 3y + 1 = 0,\\ 2x + y + 1 = 0.\end{cases}\)
1) Из первого уравнения \(x = 2y + 1\); подставим во второе: \[2(2y + 1)y + y^2 = 3, \quad 4y^2 + 2y + y^2 = 3, \quad 5y^2 + 2y - 3 = 0.\]
\(D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64\); \(y_1 = \frac{-2 - 8}{10} = -1\), \(y_2 = \frac{-2 + 8}{10} = 0{,}6\).
По формуле \(x = 2y + 1\): \(x = -1\) при \(y = -1\) и \(x = 2{,}2\) при \(y = 0{,}6\).
2) Из первого уравнения \(x = -1 - 4y\); подставим во второе: \[y^2 - (-1 - 4y)y = 4, \quad y^2 + y + 4y^2 = 4, \quad 5y^2 + y - 4 = 0.\]
\(D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81\); \(y_1 = \frac{-1 - 9}{10} = -1\), \(y_2 = \frac{-1 + 9}{10} = 0{,}8\).
По формуле \(x = -1 - 4y\): \(x = 3\) при \(y = -1\) и \(x = -4{,}2\) при \(y = 0{,}8\).
3) Из второго уравнения \(x = y + 1\); подставим в первое: \[(y + 1)^2 + y^2 - 13 = 0, \quad 2y^2 + 2y - 12 = 0, \quad y^2 + y - 6 = 0.\]
\(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\); \(y_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3\), \(y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2\).
По формуле \(x = y + 1\): \(x = -2\) при \(y = -3\) и \(x = 3\) при \(y = 2\).
4) Из второго уравнения \(y = 1 - x\); подставим в первое: \[2x^2 - (1 - x)^2 + 1 = 0, \quad 2x^2 - 1 + 2x - x^2 + 1 = 0, \quad x^2 + 2x = 0, \quad x(x + 2) = 0.\]
Значит, \(x = 0\) или \(x = -2\). По формуле \(y = 1 - x\): \(y = 1\) при \(x = 0\) и \(y = 3\) при \(x = -2\).
5) Из второго уравнения \(y = 3x - 5\); подставим в первое: \[x^2 + x - 3(3x - 5) - 8 = 0, \quad x^2 - 8x + 7 = 0.\]
\(D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36\); \(x_1 = \frac{8 - 6}{2} = 1\), \(x_2 = \frac{8 + 6}{2} = 7\).
По формуле \(y = 3x - 5\): \(y = -2\) при \(x = 1\) и \(y = 16\) при \(x = 7\).
6) Из второго уравнения \(y = -2x - 1\); подставим в первое: \[x^2 - 2x - 3(-2x - 1) + 1 = 0, \quad x^2 + 4x + 4 = 0, \quad (x + 2)^2 = 0, \quad x = -2.\]
По формуле \(y = -2x - 1\) находим \(y = 3\).
Ответ: 1) \((-1;\ -1)\), \((2{,}2;\ 0{,}6)\); 2) \((3;\ -1)\), \((-4{,}2;\ 0{,}8)\); 3) \((-2;\ -3)\), \((3;\ 2)\); 4) \((0;\ 1)\), \((-2;\ 3)\); 5) \((1;\ -2)\), \((7;\ 16)\); 6) \((-2;\ 3)\).
Решить уравнение (3.4.7—3.4.10): 1) \(\begin{cases}x - 2y = 1,\\ 2xy + y^2 = 3;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}x + 4y = -1,\\ y^2 - xy = 4;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}x^2 + y^2 - 13 = 0,\\ x - y - 1 = 0;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}2x^2 - y^2 + 1 = 0,\\ x + y - 1 = 0;\end{cases}\) 5) \(\begin{cases}x^2 + x - 3y - 8 = 0,\\ 3x - y - 5 = 0;\end{cases}\) 6) \(\begin{cases}x^2 - 2x - 3y + 1 = 0,\\ 2x + y + 1 = 0.\end{cases}\)
1) Выразим из первого уравнения \(x = 2y + 1\) и подставим это выражение во второе уравнение: \[2(2y + 1)y + y^2 = 3,\] \[4y^2 + 2y + y^2 = 3,\] \[5y^2 + 2y - 3 = 0.\] \[D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64.\] \[y_1 = \frac{-2 - 8}{10} = -1, \quad y_2 = \frac{-2 + 8}{10} = 0{,}6.\] По формуле \(x = 2y + 1\) находим: при \(y = -1\) получаем \(x = -1\); при \(y = 0{,}6\) получаем \(x = 2{,}2\).
2) Выразим из первого уравнения \(x = -1 - 4y\) и подставим это выражение во второе уравнение: \[y^2 - (-1 - 4y)y = 4,\] \[y^2 + y + 4y^2 = 4,\] \[5y^2 + y - 4 = 0.\] \[D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81.\] \[y_1 = \frac{-1 - 9}{10} = -1, \quad y_2 = \frac{-1 + 9}{10} = 0{,}8.\] По формуле \(x = -1 - 4y\) находим: при \(y = -1\) получаем \(x = 3\); при \(y = 0{,}8\) получаем \(x = -4{,}2\).
3) Выразим из второго уравнения \(x = y + 1\) и подставим это выражение в первое уравнение: \[(y + 1)^2 + y^2 - 13 = 0,\] \[2y^2 + 2y - 12 = 0,\] \[y^2 + y - 6 = 0.\] \[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25.\] \[y_1 = \frac{-1 - 5}{2} = -3, \quad y_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2.\] По формуле \(x = y + 1\) находим: при \(y = -3\) получаем \(x = -2\); при \(y = 2\) получаем \(x = 3\).
4) Выразим из второго уравнения \(y = 1 - x\) и подставим это выражение в первое уравнение: \[2x^2 - (1 - x)^2 + 1 = 0,\] \[2x^2 - 1 + 2x - x^2 + 1 = 0,\] \[x^2 + 2x = 0,\] \[x(x + 2) = 0.\] Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому \(x = 0\) или \(x = -2\). По формуле \(y = 1 - x\) находим: при \(x = 0\) получаем \(y = 1\); при \(x = -2\) получаем \(y = 3\).
5) Выразим из второго уравнения \(y = 3x - 5\) и подставим это выражение в первое уравнение: \[x^2 + x - 3(3x - 5) - 8 = 0,\] \[x^2 - 8x + 7 = 0.\] \[D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36.\] \[x_1 = \frac{8 - 6}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{8 + 6}{2} = 7.\] По формуле \(y = 3x - 5\) находим: при \(x = 1\) получаем \(y = -2\); при \(x = 7\) получаем \(y = 16\).
6) Выразим из второго уравнения \(y = -2x - 1\) и подставим это выражение в первое уравнение: \[x^2 - 2x - 3(-2x - 1) + 1 = 0,\] \[x^2 + 4x + 4 = 0,\] \[(x + 2)^2 = 0,\] \[x = -2.\] По формуле \(y = -2x - 1\) находим \(y = 3\).
Ответ: 1) \((-1;\ -1)\), \((2{,}2;\ 0{,}6)\); 2) \((3;\ -1)\), \((-4{,}2;\ 0{,}8)\); 3) \((-2;\ -3)\), \((3;\ 2)\); 4) \((0;\ 1)\), \((-2;\ 3)\); 5) \((1;\ -2)\), \((7;\ 16)\); 6) \((-2;\ 3)\).
