Страница 78 номер 3.4.8, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить уравнение (3.4.7—3.4.10): 1) \(\begin{cases}x + 2y = 5,\\ x^2 + y = 3;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}x + y = 1,\\ x^2 + 2y = 5;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}2x - y = 3,\\ 2x + y^2 = 3;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}3x + y = 0,\\ 6x + y^2 = 3.\end{cases}\)
1) Из первого уравнения \(y = \frac{5 - x}{2}\); подставим во второе: \[x^2 + \frac{5 - x}{2} = 3, \quad 2x^2 + 5 - x = 6, \quad 2x^2 - x - 1 = 0.\]
\(D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9\); \(x_1 = \frac{1 - 3}{4} = -0{,}5\), \(x_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1\).
По формуле \(y = \frac{5 - x}{2}\): \(y = 2{,}75\) при \(x = -0{,}5\) и \(y = 2\) при \(x = 1\).
2) Из первого уравнения \(y = 1 - x\); подставим во второе: \[x^2 + 2(1 - x) = 5, \quad x^2 - 2x - 3 = 0.\]
\(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\); \(x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1\), \(x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3\).
По формуле \(y = 1 - x\): \(y = 2\) при \(x = -1\) и \(y = -2\) при \(x = 3\).
3) Из первого уравнения \(y = 2x - 3\); подставим во второе: \[2x + (2x - 3)^2 = 3, \quad 2x + 4x^2 - 12x + 9 = 3, \quad 4x^2 - 10x + 6 = 0, \quad 2x^2 - 5x + 3 = 0.\]
\(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1\); \(x_1 = \frac{5 - 1}{4} = 1\), \(x_2 = \frac{5 + 1}{4} = 1{,}5\).
По формуле \(y = 2x - 3\): \(y = -1\) при \(x = 1\) и \(y = 0\) при \(x = 1{,}5\).
4) Из первого уравнения \(y = -3x\); подставим во второе: \[6x + (-3x)^2 = 3, \quad 9x^2 + 6x - 3 = 0, \quad 3x^2 + 2x - 1 = 0.\]
\(D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16\); \(x_1 = \frac{-2 - 4}{6} = -1\), \(x_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{1}{3}\).
По формуле \(y = -3x\): \(y = 3\) при \(x = -1\) и \(y = -1\) при \(x = \frac{1}{3}\).
Ответ: 1) \((-0{,}5;\ 2{,}75)\), \((1;\ 2)\); 2) \((-1;\ 2)\), \((3;\ -2)\); 3) \((1;\ -1)\), \((1{,}5;\ 0)\); 4) \((-1;\ 3)\), \(\left(\frac{1}{3};\ -1\right)\).
Решить уравнение (3.4.7—3.4.10): 1) \(\begin{cases}x + 2y = 5,\\ x^2 + y = 3;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}x + y = 1,\\ x^2 + 2y = 5;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}2x - y = 3,\\ 2x + y^2 = 3;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}3x + y = 0,\\ 6x + y^2 = 3.\end{cases}\)
1) Выразим из первого уравнения переменную \(y\) через \(x\): \(y = \frac{5 - x}{2}\). Подставим это выражение во второе уравнение: \[x^2 + \frac{5 - x}{2} = 3,\] \[2x^2 + 5 - x = 6,\] \[2x^2 - x - 1 = 0.\] \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9.\] \[x_1 = \frac{1 - 3}{4} = -0{,}5, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1.\] По формуле \(y = \frac{5 - x}{2}\) находим соответствующие значения \(y\): при \(x = -0{,}5\) получаем \(y = 2{,}75\); при \(x = 1\) получаем \(y = 2\).
2) Выразим из первого уравнения \(y = 1 - x\) и подставим это выражение во второе уравнение: \[x^2 + 2(1 - x) = 5,\] \[x^2 - 2x - 3 = 0.\] \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.\] \[x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3.\] По формуле \(y = 1 - x\) находим: при \(x = -1\) получаем \(y = 2\); при \(x = 3\) получаем \(y = -2\).
3) Выразим из первого уравнения \(y = 2x - 3\) и подставим это выражение во второе уравнение: \[2x + (2x - 3)^2 = 3,\] \[2x + 4x^2 - 12x + 9 = 3,\] \[4x^2 - 10x + 6 = 0,\] \[2x^2 - 5x + 3 = 0.\] \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1.\] \[x_1 = \frac{5 - 1}{4} = 1, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{4} = 1{,}5.\] По формуле \(y = 2x - 3\) находим: при \(x = 1\) получаем \(y = -1\); при \(x = 1{,}5\) получаем \(y = 0\).
4) Выразим из первого уравнения \(y = -3x\) и подставим это выражение во второе уравнение: \[6x + (-3x)^2 = 3,\] \[9x^2 + 6x - 3 = 0,\] \[3x^2 + 2x - 1 = 0.\] \[D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16.\] \[x_1 = \frac{-2 - 4}{6} = -1, \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{1}{3}.\] По формуле \(y = -3x\) находим: при \(x = -1\) получаем \(y = 3\); при \(x = \frac{1}{3}\) получаем \(y = -1\).
Ответ: 1) \((-0{,}5;\ 2{,}75)\), \((1;\ 2)\); 2) \((-1;\ 2)\), \((3;\ -2)\); 3) \((1;\ -1)\), \((1{,}5;\ 0)\); 4) \((-1;\ 3)\), \(\left(\frac{1}{3};\ -1\right)\).
