Страница 78 номер 3.4.10, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить уравнение (3.4.7—3.4.10): 1) \(\begin{cases}x + y = 6,\\ x^2 - y^2 = 24;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}x - y = 5,\\ x^2 - y^2 = 45;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}y^2 - x^2 = 55,\\ x - y = -5;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}y^2 - x^2 = 56,\\ x + y = 14.\end{cases}\)
1) \(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\), а \(x + y = 6\), поэтому второе уравнение принимает вид \(6(x - y) = 24\), то есть \(x - y = 4\): \[\begin{cases} x + y = 6, \\ x - y = 4 \end{cases}\]
Сложим уравнения почленно: \(2x = 10\), \(x = 5\); тогда \(y = 6 - 5 = 1\).
2) \(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\), а \(x - y = 5\), поэтому второе уравнение принимает вид \(5(x + y) = 45\), то есть \(x + y = 9\): \[\begin{cases} x - y = 5, \\ x + y = 9 \end{cases}\]
Сложим уравнения почленно: \(2x = 14\), \(x = 7\); тогда \(y = 7 - 5 = 2\).
3) \(y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)\), а из второго уравнения \(y - x = 5\), поэтому первое уравнение принимает вид \(5(y + x) = 55\), то есть \(y + x = 11\): \[\begin{cases} y - x = 5, \\ y + x = 11 \end{cases}\]
Сложим уравнения почленно: \(2y = 16\), \(y = 8\); тогда \(x = 11 - 8 = 3\).
4) \(y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)\), а \(x + y = 14\), поэтому первое уравнение принимает вид \(14(y - x) = 56\), то есть \(y - x = 4\): \[\begin{cases} y + x = 14, \\ y - x = 4 \end{cases}\]
Сложим уравнения почленно: \(2y = 18\), \(y = 9\); тогда \(x = 14 - 9 = 5\).
Ответ: 1) \((5;\ 1)\); 2) \((7;\ 2)\); 3) \((3;\ 8)\); 4) \((5;\ 9)\).
Решить уравнение (3.4.7—3.4.10): 1) \(\begin{cases}x + y = 6,\\ x^2 - y^2 = 24;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}x - y = 5,\\ x^2 - y^2 = 45;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}y^2 - x^2 = 55,\\ x - y = -5;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}y^2 - x^2 = 56,\\ x + y = 14.\end{cases}\)
1) По формуле разности квадратов \(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\). Так как \(x + y = 6\), второе уравнение принимает вид \(6(x - y) = 24\), то есть \(x - y = 4\), и система записывается так: \[\begin{cases} x + y = 6, \\ x - y = 4 \end{cases}\] Сложим почленно левые и правые части уравнений: \(2x = 10\), откуда \(x = 5\); тогда \(y = 6 - 5 = 1\).
2) По формуле разности квадратов \(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\). Так как \(x - y = 5\), второе уравнение принимает вид \(5(x + y) = 45\), то есть \(x + y = 9\), и система записывается так: \[\begin{cases} x - y = 5, \\ x + y = 9 \end{cases}\] Сложим почленно левые и правые части уравнений: \(2x = 14\), откуда \(x = 7\); тогда \(y = 7 - 5 = 2\).
3) По формуле разности квадратов \(y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)\). Из второго уравнения \(y - x = 5\), поэтому первое уравнение принимает вид \(5(y + x) = 55\), то есть \(y + x = 11\), и система записывается так: \[\begin{cases} y - x = 5, \\ y + x = 11 \end{cases}\] Сложим почленно левые и правые части уравнений: \(2y = 16\), откуда \(y = 8\); тогда \(x = 11 - 8 = 3\).
4) По формуле разности квадратов \(y^2 - x^2 = (y - x)(y + x)\). Так как \(x + y = 14\), первое уравнение принимает вид \(14(y - x) = 56\), то есть \(y - x = 4\), и система записывается так: \[\begin{cases} y + x = 14, \\ y - x = 4 \end{cases}\] Сложим почленно левые и правые части уравнений: \(2y = 18\), откуда \(y = 9\); тогда \(x = 14 - 9 = 5\).
Ответ: 1) \((5;\ 1)\); 2) \((7;\ 2)\); 3) \((3;\ 8)\); 4) \((5;\ 9)\).
