Страница 78 номер 3.4.7, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить уравнение (3.4.7—3.4.10): 1) \(\begin{cases}x + y = 7,\\ \frac{3}{y - x} = 1;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}x + 3y = 3,\\ \frac{5}{4y + x} = 1;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}\frac{x + 2y}{x + y} = 3,\\ 3x + y + 2 = 0;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}\frac{2x - 3y}{x - y} = 4,\\ 3x - y + 1 = 0;\end{cases}\) 5) \(\begin{cases}\frac{3}{6x + y} = \frac{4}{x - y},\\ 5x + y = 2;\end{cases}\) 6) \(\begin{cases}\frac{6}{2x + 3y} = \frac{5}{4x - y},\\ 4x - 5y = 2.\end{cases}\)
1) Дробь имеет смысл при \(y \ne x\); тогда второе уравнение равносильно уравнению \(y - x = 3\): \[\begin{cases} x + y = 7, \\ y - x = 3 \end{cases}\]
Сложим уравнения почленно: \(2y = 10\), \(y = 5\); тогда \(x = 7 - 5 = 2\). Для найденной пары \(y \ne x\), значит, она — решение системы.
2) Дробь имеет смысл при \(4y + x \ne 0\); тогда второе уравнение равносильно уравнению \(x + 4y = 5\): \[\begin{cases} x + 3y = 3, \\ x + 4y = 5 \end{cases}\]
Вычтем из второго уравнения первое: \(y = 2\); тогда \(x = 3 - 3 \cdot 2 = -3\). При этом \(4y + x = 5 \ne 0\), значит, пара \((-3;\ 2)\) — решение системы.
3) Дробь имеет смысл при \(x + y \ne 0\). Умножим первое уравнение на \(x + y\): \[x + 2y = 3(x + y), \quad x + 2y = 3x + 3y, \quad 2x + y = 0.\]
\[\begin{cases} 2x + y = 0, \\ 3x + y = -2 \end{cases}\]
Вычтем из второго уравнения первое: \(x = -2\); тогда \(y = -2x = 4\). При этом \(x + y = 2 \ne 0\), значит, пара \((-2;\ 4)\) — решение системы.
4) Дробь имеет смысл при \(x \ne y\). Умножим первое уравнение на \(x - y\): \[2x - 3y = 4(x - y), \quad 2x - 3y = 4x - 4y, \quad 2x - y = 0.\]
\[\begin{cases} 2x - y = 0, \\ 3x - y = -1 \end{cases}\]
Вычтем из второго уравнения первое: \(x = -1\); тогда \(y = 2x = -2\). При этом \(x - y = 1 \ne 0\), значит, пара \((-1;\ -2)\) — решение системы.
5) Дроби имеют смысл при \(6x + y \ne 0\) и \(x \ne y\); тогда первое уравнение равносильно уравнению \[3(x - y) = 4(6x + y), \quad 3x - 3y = 24x + 4y, \quad 21x + 7y = 0, \quad 3x + y = 0.\]
\[\begin{cases} 3x + y = 0, \\ 5x + y = 2 \end{cases}\]
Вычтем из второго уравнения первое: \(2x = 2\), \(x = 1\); тогда \(y = -3x = -3\). При этом \(6x + y = 3 \ne 0\) и \(x - y = 4 \ne 0\), значит, пара \((1;\ -3)\) — решение системы.
6) Дроби имеют смысл при \(2x + 3y \ne 0\) и \(4x - y \ne 0\); тогда первое уравнение равносильно уравнению \[6(4x - y) = 5(2x + 3y), \quad 24x - 6y = 10x + 15y, \quad 14x = 21y, \quad x = 1{,}5y.\]
Подставим \(x = 1{,}5y\) во второе уравнение: \(4 \cdot 1{,}5y - 5y = 2\), то есть \(y = 2\); тогда \(x = 3\). При этом \(2x + 3y = 12 \ne 0\) и \(4x - y = 10 \ne 0\), значит, пара \((3;\ 2)\) — решение системы.
Ответ: 1) \((2;\ 5)\); 2) \((-3;\ 2)\); 3) \((-2;\ 4)\); 4) \((-1;\ -2)\); 5) \((1;\ -3)\); 6) \((3;\ 2)\).
Решить уравнение (3.4.7—3.4.10): 1) \(\begin{cases}x + y = 7,\\ \frac{3}{y - x} = 1;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}x + 3y = 3,\\ \frac{5}{4y + x} = 1;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}\frac{x + 2y}{x + y} = 3,\\ 3x + y + 2 = 0;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}\frac{2x - 3y}{x - y} = 4,\\ 3x - y + 1 = 0;\end{cases}\) 5) \(\begin{cases}\frac{3}{6x + y} = \frac{4}{x - y},\\ 5x + y = 2;\end{cases}\) 6) \(\begin{cases}\frac{6}{2x + 3y} = \frac{5}{4x - y},\\ 4x - 5y = 2.\end{cases}\)
1) Дробь \(\frac{3}{y - x}\) имеет смысл при \(y \ne x\). При этом условии второе уравнение равносильно уравнению \(y - x = 3\), и система принимает вид \[\begin{cases} x + y = 7, \\ y - x = 3 \end{cases}\] Сложим почленно левые и правые части уравнений: \(2y = 10\), откуда \(y = 5\); тогда \(x = 7 - 5 = 2\). Для найденной пары \(y \ne x\), значит, она является решением системы.
2) Дробь \(\frac{5}{4y + x}\) имеет смысл при \(4y + x \ne 0\). При этом условии второе уравнение равносильно уравнению \(x + 4y = 5\), и система принимает вид \[\begin{cases} x + 3y = 3, \\ x + 4y = 5 \end{cases}\] Вычтем из второго уравнения первое: \(y = 2\); тогда \(x = 3 - 3 \cdot 2 = -3\). При \(x = -3\) и \(y = 2\) получаем \(4y + x = 5 \ne 0\), значит, пара \((-3;\ 2)\) является решением системы.
3) Дробь \(\frac{x + 2y}{x + y}\) имеет смысл при \(x + y \ne 0\). Умножим обе части первого уравнения на \(x + y\): \[x + 2y = 3(x + y),\] \[x + 2y = 3x + 3y,\] \[2x + y = 0.\] Система принимает вид \[\begin{cases} 2x + y = 0, \\ 3x + y = -2 \end{cases}\] Вычтем из второго уравнения первое: \(x = -2\); тогда \(y = -2x = 4\). При \(x = -2\) и \(y = 4\) получаем \(x + y = 2 \ne 0\), значит, пара \((-2;\ 4)\) является решением системы.
4) Дробь \(\frac{2x - 3y}{x - y}\) имеет смысл при \(x \ne y\). Умножим обе части первого уравнения на \(x - y\): \[2x - 3y = 4(x - y),\] \[2x - 3y = 4x - 4y,\] \[2x - y = 0.\] Система принимает вид \[\begin{cases} 2x - y = 0, \\ 3x - y = -1 \end{cases}\] Вычтем из второго уравнения первое: \(x = -1\); тогда \(y = 2x = -2\). При \(x = -1\) и \(y = -2\) получаем \(x - y = 1 \ne 0\), значит, пара \((-1;\ -2)\) является решением системы.
5) Дроби имеют смысл при \(6x + y \ne 0\) и \(x \ne y\). При этих условиях первое уравнение равносильно уравнению \[3(x - y) = 4(6x + y),\] \[3x - 3y = 24x + 4y,\] \[21x + 7y = 0,\] \[3x + y = 0.\] Система принимает вид \[\begin{cases} 3x + y = 0, \\ 5x + y = 2 \end{cases}\] Вычтем из второго уравнения первое: \(2x = 2\), откуда \(x = 1\); тогда \(y = -3x = -3\). При \(x = 1\) и \(y = -3\) получаем \(6x + y = 3 \ne 0\) и \(x - y = 4 \ne 0\), значит, пара \((1;\ -3)\) является решением системы.
6) Дроби имеют смысл при \(2x + 3y \ne 0\) и \(4x - y \ne 0\). При этих условиях первое уравнение равносильно уравнению \[6(4x - y) = 5(2x + 3y),\] \[24x - 6y = 10x + 15y,\] \[14x = 21y,\] \[x = 1{,}5y.\] Подставим выражение \(x = 1{,}5y\) во второе уравнение системы: \(4 \cdot 1{,}5y - 5y = 2\), то есть \(y = 2\); тогда \(x = 3\). При \(x = 3\) и \(y = 2\) получаем \(2x + 3y = 12 \ne 0\) и \(4x - y = 10 \ne 0\), значит, пара \((3;\ 2)\) является решением системы.
Ответ: 1) \((2;\ 5)\); 2) \((-3;\ 2)\); 3) \((-2;\ 4)\); 4) \((-1;\ -2)\); 5) \((1;\ -3)\); 6) \((3;\ 2)\).
