Страница 77 номер 3.4.6, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить уравнение (3.4.1—3.4.6): 1) \(\frac{2}{x - 2} - \frac{1}{x + 1} = \frac{3}{(x + 1)(x - 2)} + 1\); 2) \(\frac{5}{(x + 3)(x - 1)} + \frac{3}{x - 1} = \frac{10}{x + 3} + 2\); 3) \(\frac{3}{4 - x^2} - \frac{2}{x + 2} = \frac{6}{2 - x} - 3\); 4) \(\frac{3}{3 + x} + \frac{5}{x - 3} = \frac{10}{x^2 - 9} + 4\).
1) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 2\) и \(x \ne -1\). Умножим на общий знаменатель \((x + 1)(x - 2)\): \[2(x + 1) - (x - 2) = 3 + (x + 1)(x - 2), \quad x + 4 = x^2 - x + 1, \quad x^2 - 2x - 3 = 0.\]
\(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\); \(x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1\), \(x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3\).
При \(x = -1\) знаменатель обращается в нуль, значит, корень один: 3.
2) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -3\) и \(x \ne 1\). Умножим на общий знаменатель \((x + 3)(x - 1)\): \[5 + 3(x + 3) = 10(x - 1) + 2(x + 3)(x - 1), \quad 3x + 14 = 2x^2 + 14x - 16, \quad 2x^2 + 11x - 30 = 0.\]
\(D = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 121 + 240 = 361\); \(x_1 = \frac{-11 - 19}{4} = -7{,}5\), \(x_2 = \frac{-11 + 19}{4} = 2\) — знаменатели они в нуль не обращают, значит, оба корни.
3) \(4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)\), знаменатели не равны нулю при \(x \ne 2\) и \(x \ne -2\). Умножим на общий знаменатель \((2 - x)(2 + x)\): \[3 - 2(2 - x) = 6(2 + x) - 3(2 - x)(2 + x), \quad 2x - 1 = 3x^2 + 6x, \quad 3x^2 + 4x + 1 = 0.\]
\(D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4\); \(x_1 = \frac{-4 - 2}{6} = -1\), \(x_2 = \frac{-4 + 2}{6} = -\frac{1}{3}\) — знаменатели они в нуль не обращают, значит, оба корни.
4) \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\), знаменатели не равны нулю при \(x \ne 3\) и \(x \ne -3\). Умножим на общий знаменатель \((x - 3)(x + 3)\): \[3(x - 3) + 5(x + 3) = 10 + 4(x - 3)(x + 3), \quad 8x + 6 = 4x^2 - 26, \quad 4x^2 - 8x - 32 = 0, \quad x^2 - 2x - 8 = 0.\]
\(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\); \(x_1 = \frac{2 - 6}{2} = -2\), \(x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4\) — знаменатели они в нуль не обращают, значит, оба корни.
Ответ: 1) 3; 2) \(-7{,}5\) и 2; 3) \(-1\) и \(-\frac{1}{3}\); 4) \(-2\) и 4.
Решить уравнение (3.4.1—3.4.6): 1) \(\frac{2}{x - 2} - \frac{1}{x + 1} = \frac{3}{(x + 1)(x - 2)} + 1\); 2) \(\frac{5}{(x + 3)(x - 1)} + \frac{3}{x - 1} = \frac{10}{x + 3} + 2\); 3) \(\frac{3}{4 - x^2} - \frac{2}{x + 2} = \frac{6}{2 - x} - 3\); 4) \(\frac{3}{3 + x} + \frac{5}{x - 3} = \frac{10}{x^2 - 9} + 4\).
1) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 2\) и \(x \ne -1\). Общий знаменатель дробей равен \((x + 1)(x - 2)\); умножим на него обе части уравнения: \[2(x + 1) - (x - 2) = 3 + (x + 1)(x - 2),\] \[x + 4 = x^2 - x + 1,\] \[x^2 - 2x - 3 = 0.\] \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.\] \[x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3.\]
Если \(x = -1\), то \((x + 1)(x - 2) = 0\); если \(x = 3\), то \((x + 1)(x - 2) \ne 0\). Значит, корнем уравнения является только число 3.
2) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -3\) и \(x \ne 1\). Общий знаменатель дробей равен \((x + 3)(x - 1)\); умножим на него обе части уравнения: \[5 + 3(x + 3) = 10(x - 1) + 2(x + 3)(x - 1),\] \[3x + 14 = 2x^2 + 14x - 16,\] \[2x^2 + 11x - 30 = 0.\] \[D = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-30) = 121 + 240 = 361.\] \[x_1 = \frac{-11 - 19}{4} = -7{,}5, \quad x_2 = \frac{-11 + 19}{4} = 2.\]
Оба числа не обращают знаменатели в нуль, значит, оба являются корнями уравнения.
3) По формуле разности квадратов \(4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)\), поэтому знаменатели не равны нулю при \(x \ne 2\) и \(x \ne -2\). Общий знаменатель дробей равен \((2 - x)(2 + x)\); умножим на него обе части уравнения: \[3 - 2(2 - x) = 6(2 + x) - 3(2 - x)(2 + x),\] \[2x - 1 = 12 + 6x - 3(4 - x^2),\] \[2x - 1 = 3x^2 + 6x,\] \[3x^2 + 4x + 1 = 0.\] \[D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4.\] \[x_1 = \frac{-4 - 2}{6} = -1, \quad x_2 = \frac{-4 + 2}{6} = -\frac{1}{3}.\]
Оба числа не обращают знаменатели в нуль, значит, оба являются корнями уравнения.
4) По формуле разности квадратов \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\), поэтому знаменатели не равны нулю при \(x \ne 3\) и \(x \ne -3\). Общий знаменатель дробей равен \((x - 3)(x + 3)\); умножим на него обе части уравнения: \[3(x - 3) + 5(x + 3) = 10 + 4(x - 3)(x + 3),\] \[8x + 6 = 4x^2 - 26,\] \[4x^2 - 8x - 32 = 0,\] \[x^2 - 2x - 8 = 0.\] \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36.\] \[x_1 = \frac{2 - 6}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4.\]
Оба числа не обращают знаменатели в нуль, значит, оба являются корнями уравнения.
Ответ: 1) 3; 2) \(-7{,}5\) и 2; 3) \(-1\) и \(-\frac{1}{3}\); 4) \(-2\) и 4.
