Страница 77 номер 3.4.5, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить уравнение (3.4.1—3.4.6): 1) \(\frac{3}{x - 2} + \frac{5}{x} = 2\); 2) \(\frac{3}{x + 4} - \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{2}\); 3) \(\frac{5}{x - 3} - \frac{6}{x + 2} = 4\); 4) \(\frac{8}{x + 5} - \frac{9}{x} = 7\).
1) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 2\) и \(x \ne 0\). Умножим на общий знаменатель \(x(x - 2)\): \[3x + 5(x - 2) = 2x(x - 2), \quad 8x - 10 = 2x^2 - 4x, \quad 2x^2 - 12x + 10 = 0, \quad x^2 - 6x + 5 = 0.\]
\(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16\); \(x_1 = \frac{6 - 4}{2} = 1\), \(x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5\) — оба условиям удовлетворяют, значит, оба корни.
2) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -4\) и \(x \ne -3\). Умножим на общий знаменатель \(2(x + 4)(x + 3)\): \[6(x + 3) - 2(x + 4) = (x + 4)(x + 3), \quad 4x + 10 = x^2 + 7x + 12, \quad x^2 + 3x + 2 = 0.\]
\(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1\); \(x_1 = \frac{-3 - 1}{2} = -2\), \(x_2 = \frac{-3 + 1}{2} = -1\) — оба условиям удовлетворяют, значит, оба корни.
3) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 3\) и \(x \ne -2\). Умножим на общий знаменатель \((x - 3)(x + 2)\): \[5(x + 2) - 6(x - 3) = 4(x - 3)(x + 2), \quad -x + 28 = 4x^2 - 4x - 24, \quad 4x^2 - 3x - 52 = 0.\]
\(D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-52) = 9 + 832 = 841\); \(x_1 = \frac{3 - 29}{8} = -3{,}25\), \(x_2 = \frac{3 + 29}{8} = 4\) — оба условиям удовлетворяют, значит, оба корни.
4) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -5\) и \(x \ne 0\). Умножим на общий знаменатель \(x(x + 5)\): \[8x - 9(x + 5) = 7x(x + 5), \quad -x - 45 = 7x^2 + 35x, \quad 7x^2 + 36x + 45 = 0.\]
\(D = 36^2 - 4 \cdot 7 \cdot 45 = 1296 - 1260 = 36\); \(x_1 = \frac{-36 - 6}{14} = -3\), \(x_2 = \frac{-36 + 6}{14} = -2\frac{1}{7}\) — оба условиям удовлетворяют, значит, оба корни.
Ответ: 1) 1 и 5; 2) \(-2\) и \(-1\); 3) \(-3{,}25\) и 4; 4) \(-3\) и \(-2\frac{1}{7}\).
Решить уравнение (3.4.1—3.4.6): 1) \(\frac{3}{x - 2} + \frac{5}{x} = 2\); 2) \(\frac{3}{x + 4} - \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{2}\); 3) \(\frac{5}{x - 3} - \frac{6}{x + 2} = 4\); 4) \(\frac{8}{x + 5} - \frac{9}{x} = 7\).
1) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 2\) и \(x \ne 0\). Общий знаменатель дробей равен \(x(x - 2)\); умножим на него обе части уравнения: \[3x + 5(x - 2) = 2x(x - 2),\] \[8x - 10 = 2x^2 - 4x,\] \[2x^2 - 12x + 10 = 0,\] \[x^2 - 6x + 5 = 0.\] \[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16.\] \[x_1 = \frac{6 - 4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5.\]
Оба числа удовлетворяют условиям \(x \ne 2\) и \(x \ne 0\), значит, оба являются корнями уравнения.
2) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -4\) и \(x \ne -3\). Общий знаменатель дробей равен \(2(x + 4)(x + 3)\); умножим на него обе части уравнения: \[6(x + 3) - 2(x + 4) = (x + 4)(x + 3),\] \[4x + 10 = x^2 + 7x + 12,\] \[x^2 + 3x + 2 = 0.\] \[D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1.\] \[x_1 = \frac{-3 - 1}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-3 + 1}{2} = -1.\]
Оба числа удовлетворяют обоим условиям, значит, оба являются корнями уравнения.
3) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 3\) и \(x \ne -2\). Общий знаменатель дробей равен \((x - 3)(x + 2)\); умножим на него обе части уравнения: \[5(x + 2) - 6(x - 3) = 4(x - 3)(x + 2),\] \[-x + 28 = 4x^2 - 4x - 24,\] \[4x^2 - 3x - 52 = 0.\] \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-52) = 9 + 832 = 841.\] \[x_1 = \frac{3 - 29}{8} = -3{,}25, \quad x_2 = \frac{3 + 29}{8} = 4.\]
Оба числа удовлетворяют обоим условиям, значит, оба являются корнями уравнения.
4) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -5\) и \(x \ne 0\). Общий знаменатель дробей равен \(x(x + 5)\); умножим на него обе части уравнения: \[8x - 9(x + 5) = 7x(x + 5),\] \[-x - 45 = 7x^2 + 35x,\] \[7x^2 + 36x + 45 = 0.\] \[D = 36^2 - 4 \cdot 7 \cdot 45 = 1296 - 1260 = 36.\] \[x_1 = \frac{-36 - 6}{14} = -3, \quad x_2 = \frac{-36 + 6}{14} = -2\frac{1}{7}.\]
Оба числа удовлетворяют обоим условиям, значит, оба являются корнями уравнения.
Ответ: 1) 1 и 5; 2) \(-2\) и \(-1\); 3) \(-3{,}25\) и 4; 4) \(-3\) и \(-2\frac{1}{7}\).
