Страница 84 номер 3.4.50, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Из расположенных на одном шоссе пунктов \(A\) и \(B\) одновременно в одном направлении выехали два автомобиля, которые прибыли в пункт \(C\) в одно и то же время. Если бы один из них уменьшил скорость на 8 км/ч, а другой — на 10 км/ч, они всё равно прибыли бы в пункт \(C\) одновременно, но на полчаса позже. Найти скорость автомобиля, двигавшегося медленнее, если расстояние от \(A\) до \(B\) равно 90 км.
Дано:
\(AB = 90\) км
автомобили выехали из \(A\) и \(B\) одновременно в одном направлении и прибыли в \(C\) одновременно
при уменьшении скорости одного на 8 км/ч, а другого на 10 км/ч они прибыли бы в \(C\) одновременно, но на 0,5 ч позже
Найти: скорость автомобиля, двигавшегося медленнее.
Решение:
Пункт \(C\) лежит впереди обоих автомобилей, поэтому путь одного из них на 90 км длиннее пути другого, а больший путь за одно и то же время проходит более быстрый.
Пусть \(x\) км/ч — скорость медленного автомобиля, \(y\) км/ч — второго, \(t\) ч — время движения в первом случае, \(s\) км — путь медленного. Тогда \(s = xt\) и \(s + 90 = yt\), откуда
\[(y - x)t = 90.\]
Во втором случае время движения равно \((t + 0{,}5)\) ч, и произведение разности новых скоростей на время движения снова равно 90.
Если бы быстрый автомобиль сбавил 8 км/ч, а медленный 10 км/ч, то разность скоростей стала бы равна \(y - x + 2\), то есть больше прежней, и времени ушло бы меньше, а не больше. Значит, быстрый сбавил 10 км/ч, а медленный 8 км/ч, и разность скоростей стала равна \(y - x - 2\):
\[(y - x - 2)(t + 0{,}5) = 90.\]
Из первого равенства \(y - x = \frac{90}{t}\), причём \(t \ne 0\):
\[\left(\frac{90}{t} - 2\right)(t + 0{,}5) = 90,\]
\[\frac{45}{t} - 2t - 1 = 0.\]
Умножим на \(t\):
\[2t^2 + t - 45 = 0,\]
\[D = 1 + 360 = 361, \quad t = \frac{-1 \pm 19}{4}, \quad t_1 = 4{,}5, \ t_2 = -5.\]
Время движения положительно, поэтому корень \(-5\) не подходит по смыслу задачи: \(t = 4{,}5\) ч, а во втором случае \(4{,}5 + 0{,}5 = 5\) (ч).
Медленный автомобиль проходит один и тот же путь \(s\) за 4,5 ч со скоростью \(x\) км/ч и за 5 ч со скоростью \((x - 8)\) км/ч:
\[4{,}5x = 5(x - 8),\]
\[0{,}5x = 40,\]
\[x = 80.\]
Проверка: скорость второго автомобиля равна \(80 + \frac{90}{4{,}5} = 100\) (км/ч); пути равны \(80 \cdot 4{,}5 = 360\) (км) и \(100 \cdot 4{,}5 = 450\) (км), их разность 90 км. При уменьшенных скоростях 72 км/ч и 90 км/ч время равно \(360 : 72 = 5\) (ч) и \(450 : 90 = 5\) (ч) — оба автомобиля приезжают одновременно и на полчаса позже.
Ответ: 80 км/ч.
Из расположенных на одном шоссе пунктов \(A\) и \(B\) одновременно в одном направлении выехали два автомобиля, которые прибыли в пункт \(C\) в одно и то же время. Если бы один из них уменьшил скорость на 8 км/ч, а другой — на 10 км/ч, они всё равно прибыли бы в пункт \(C\) одновременно, но на полчаса позже. Найти скорость автомобиля, двигавшегося медленнее, если расстояние от \(A\) до \(B\) равно 90 км.
Дано:
\(AB = 90\) км
автомобили выехали из \(A\) и \(B\) одновременно в одном направлении и прибыли в \(C\) одновременно
при уменьшении скорости одного на 8 км/ч, а другого на 10 км/ч они прибыли бы в \(C\) одновременно, но на 0,5 ч позже
Найти: скорость автомобиля, двигавшегося медленнее.
Решение:
Автомобили едут по одному шоссе в одном направлении и оба приезжают в пункт \(C\), значит, пункт \(C\) лежит впереди обоих и путь одного из них на 90 км длиннее пути другого. За одно и то же время больший путь проходит тот автомобиль, у которого больше скорость.
Пусть \(x\) км/ч — скорость автомобиля, двигавшегося медленнее, \(y\) км/ч — скорость второго автомобиля, \(t\) ч — время движения в первом случае, \(s\) км — путь медленного автомобиля. Тогда \(s = xt\) и \(s + 90 = yt\); вычитая из второго равенства первое, получаем
\[(y - x)t = 90.\]
Во втором случае автомобили снова выезжают одновременно и приезжают в \(C\) одновременно, а время движения равно \((t + 0{,}5)\) ч. Точно так же произведение разности новых скоростей на время движения равно 90.
Если бы скорость быстрого автомобиля уменьшилась на 8 км/ч, а медленного — на 10 км/ч, то разность скоростей стала бы равна \(y - x + 2\), то есть больше прежней; время движения обратно пропорционально разности скоростей, поэтому на путь ушло бы меньше времени, а не больше. Значит, быстрый автомобиль уменьшил скорость на 10 км/ч, а медленный — на 8 км/ч, и разность скоростей стала равна \(y - x - 2\):
\[(y - x - 2)(t + 0{,}5) = 90.\]
Из первого равенства \(y - x = \frac{90}{t}\), причём знаменатель не равен нулю при \(t \ne 0\). Подставим это выражение во второе равенство:
\[\left(\frac{90}{t} - 2\right)(t + 0{,}5) = 90,\]
\[90 + \frac{45}{t} - 2t - 1 = 90,\]
\[\frac{45}{t} - 2t - 1 = 0.\]
Умножим обе части на \(t\):
\[45 - 2t^2 - t = 0,\]
\[2t^2 + t - 45 = 0,\]
\[D = 1 + 360 = 361,\]
\[t = \frac{-1 \pm 19}{4}, \quad t_1 = 4{,}5, \ t_2 = -5.\]
Время движения положительно, поэтому корень \(-5\) не подходит по смыслу задачи: \(t = 4{,}5\) ч, а во втором случае время движения равно \(4{,}5 + 0{,}5 = 5\) (ч).
Медленный автомобиль проходит один и тот же путь \(s\) за 4,5 ч со скоростью \(x\) км/ч и за 5 ч со скоростью \((x - 8)\) км/ч:
\[4{,}5x = 5(x - 8),\]
\[0{,}5x = 40,\]
\[x = 80.\]
Проверка: скорость второго автомобиля равна \(80 + \frac{90}{4{,}5} = 100\) (км/ч); пути равны \(80 \cdot 4{,}5 = 360\) (км) и \(100 \cdot 4{,}5 = 450\) (км), их разность 90 км. При уменьшенных скоростях 72 км/ч и 90 км/ч время равно \(360 : 72 = 5\) (ч) и \(450 : 90 = 5\) (ч) — оба автомобиля приезжают одновременно и на полчаса позже.
Ответ: 80 км/ч.
