Страница 84 номер 3.4.49, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
На тренировке Ваня и Сеня прыгнули в высоту по 21 разу каждый, сделав вместе 32 удачных прыжка (в остальных случаях сбивали планку). Сколько удачных прыжков сделал Ваня и сколько — Сеня, если на каждый неудачный прыжок у Вани приходилось в 3 раза больше удачных, чем у Сени?
Дано:
21 прыжок сделал каждый из мальчиков
32 удачных прыжка сделали оба вместе
на каждый неудачный прыжок у Вани приходилось в 3 раза больше удачных, чем у Сени
Найти: число удачных прыжков у Вани и у Сени.
Решение:
Пусть \(x\) — число удачных прыжков Вани. Тогда неудачных у него \((21 - x)\), у Сени удачных \((32 - x)\), а неудачных \(21 - (32 - x) = x - 11\).
На один неудачный прыжок у Вани приходится \(\frac{x}{21 - x}\) удачных, у Сени — \(\frac{32 - x}{x - 11}\), и у Вани это число в 3 раза больше:
\[\frac{x}{21 - x} = \frac{3(32 - x)}{x - 11}.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 21\) и \(x \ne 11\). По основному свойству пропорции
\[x(x - 11) = 3(32 - x)(21 - x),\]
\[x^2 - 11x = 3x^2 - 159x + 2016,\]
\[x^2 - 74x + 1008 = 0,\]
\[D = 5476 - 4032 = 1444, \quad x = \frac{74 \pm 38}{2}, \quad x_1 = 56, \ x_2 = 18.\]
Ваня прыгал 21 раз, поэтому удачных прыжков у него не больше 21, и корень 56 не подходит по смыслу задачи: у Вани 18 удачных прыжков, у Сени \(32 - 18 = 14\).
Проверка: неудачных прыжков у Вани \(21 - 18 = 3\), у Сени \(21 - 14 = 7\); на один неудачный приходится \(18 : 3 = 6\) удачных у Вани и \(14 : 7 = 2\) у Сени, и \(6 = 3 \cdot 2\).
Ответ: Ваня сделал 18 удачных прыжков, Сеня — 14 удачных прыжков.
На тренировке Ваня и Сеня прыгнули в высоту по 21 разу каждый, сделав вместе 32 удачных прыжка (в остальных случаях сбивали планку). Сколько удачных прыжков сделал Ваня и сколько — Сеня, если на каждый неудачный прыжок у Вани приходилось в 3 раза больше удачных, чем у Сени?
Дано:
21 прыжок сделал каждый из мальчиков
32 удачных прыжка сделали оба вместе
на каждый неудачный прыжок у Вани приходилось в 3 раза больше удачных, чем у Сени
Найти: число удачных прыжков у Вани и у Сени.
Решение:
Пусть \(x\) — число удачных прыжков Вани. Тогда неудачных прыжков у него \((21 - x)\), удачных прыжков у Сени \((32 - x)\), а неудачных у Сени \(21 - (32 - x) = x - 11\).
На один неудачный прыжок у Вани приходится \(\frac{x}{21 - x}\) удачных, у Сени — \(\frac{32 - x}{x - 11}\) удачных, причём у Вани это число в 3 раза больше:
\[\frac{x}{21 - x} = \frac{3(32 - x)}{x - 11}.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 21\) и \(x \ne 11\). По основному свойству пропорции
\[x(x - 11) = 3(32 - x)(21 - x),\]
\[x^2 - 11x = 3x^2 - 159x + 2016,\]
\[2x^2 - 148x + 2016 = 0,\]
\[x^2 - 74x + 1008 = 0,\]
\[D = 5476 - 4032 = 1444,\]
\[x = \frac{74 \pm 38}{2}, \quad x_1 = 56, \ x_2 = 18.\]
Всего Ваня прыгал 21 раз, поэтому удачных прыжков у него не больше 21, и корень 56 не подходит по смыслу задачи. Значит, у Вани 18 удачных прыжков, а у Сени \(32 - 18 = 14\) удачных прыжков.
Проверка: неудачных прыжков у Вани \(21 - 18 = 3\), у Сени \(21 - 14 = 7\); на один неудачный прыжок у Вани приходится \(18 : 3 = 6\) удачных, у Сени \(14 : 7 = 2\) удачных, и \(6 = 3 \cdot 2\).
Ответ: Ваня сделал 18 удачных прыжков, Сеня — 14 удачных прыжков.
