Страница 77 номер 3.4.4, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить уравнение (3.4.1—3.4.6): 1) \(\frac{x + 3}{2x - 1} = \frac{x + 2}{5x + 2}\); 2) \(\frac{x - 3}{x + 1} = \frac{x - 4}{2x - 7}\); 3) \(\frac{2x + 7}{3x + 10} = \frac{x + 11}{2 - x}\); 4) \(\frac{x + 2}{5x + 2} = \frac{x + 3}{2x - 1}\).
1) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0{,}5\) и \(x \ne -0{,}4\). Умножим на \((2x - 1)(5x + 2)\): \[(x + 3)(5x + 2) = (x + 2)(2x - 1), \quad 5x^2 + 17x + 6 = 2x^2 + 3x - 2, \quad 3x^2 + 14x + 8 = 0.\]
\(D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 196 - 96 = 100\); \(x_1 = \frac{-14 - 10}{6} = -4\), \(x_2 = \frac{-14 + 10}{6} = -\frac{2}{3}\) — оба условиям удовлетворяют, значит, оба корни.
2) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -1\) и \(x \ne 3{,}5\). Умножим на \((x + 1)(2x - 7)\): \[(x - 3)(2x - 7) = (x - 4)(x + 1), \quad 2x^2 - 13x + 21 = x^2 - 3x - 4, \quad x^2 - 10x + 25 = 0.\]
Отсюда \((x - 5)^2 = 0\) и \(x = 5\) — число 5 обоим условиям удовлетворяет, значит, это корень.
3) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -3\frac{1}{3}\) и \(x \ne 2\). Умножим на \((3x + 10)(2 - x)\): \[(2x + 7)(2 - x) = (x + 11)(3x + 10), \quad -2x^2 - 3x + 14 = 3x^2 + 43x + 110, \quad 5x^2 + 46x + 96 = 0.\]
\(D = 46^2 - 4 \cdot 5 \cdot 96 = 2116 - 1920 = 196\); \(x_1 = \frac{-46 - 14}{10} = -6\), \(x_2 = \frac{-46 + 14}{10} = -3{,}2\) — оба условиям удовлетворяют, значит, оба корни.
4) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -0{,}4\) и \(x \ne 0{,}5\). Умножим на \((5x + 2)(2x - 1)\): \[(x + 2)(2x - 1) = (x + 3)(5x + 2), \quad 2x^2 + 3x - 2 = 5x^2 + 17x + 6, \quad 3x^2 + 14x + 8 = 0.\]
\(D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 196 - 96 = 100\); \(x_1 = \frac{-14 - 10}{6} = -4\), \(x_2 = \frac{-14 + 10}{6} = -\frac{2}{3}\) — оба условиям удовлетворяют, значит, оба корни.
Ответ: 1) \(-4\) и \(-\frac{2}{3}\); 2) 5; 3) \(-6\) и \(-3{,}2\); 4) \(-4\) и \(-\frac{2}{3}\).
Решить уравнение (3.4.1—3.4.6): 1) \(\frac{x + 3}{2x - 1} = \frac{x + 2}{5x + 2}\); 2) \(\frac{x - 3}{x + 1} = \frac{x - 4}{2x - 7}\); 3) \(\frac{2x + 7}{3x + 10} = \frac{x + 11}{2 - x}\); 4) \(\frac{x + 2}{5x + 2} = \frac{x + 3}{2x - 1}\).
1) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0{,}5\) и \(x \ne -0{,}4\). Умножим обе части уравнения на \((2x - 1)(5x + 2)\): \[(x + 3)(5x + 2) = (x + 2)(2x - 1),\] \[5x^2 + 17x + 6 = 2x^2 + 3x - 2,\] \[3x^2 + 14x + 8 = 0.\] \[D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 196 - 96 = 100.\] \[x_1 = \frac{-14 - 10}{6} = -4, \quad x_2 = \frac{-14 + 10}{6} = -\frac{2}{3}.\]
Оба числа удовлетворяют условиям \(x \ne 0{,}5\) и \(x \ne -0{,}4\), значит, оба являются корнями уравнения.
2) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -1\) и \(x \ne 3{,}5\). Умножим обе части уравнения на \((x + 1)(2x - 7)\): \[(x - 3)(2x - 7) = (x - 4)(x + 1),\] \[2x^2 - 13x + 21 = x^2 - 3x - 4,\] \[x^2 - 10x + 25 = 0,\] \[(x - 5)^2 = 0,\] \[x = 5.\]
Число 5 удовлетворяет обоим условиям, значит, оно является корнем уравнения.
3) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -3\frac{1}{3}\) и \(x \ne 2\). Умножим обе части уравнения на \((3x + 10)(2 - x)\): \[(2x + 7)(2 - x) = (x + 11)(3x + 10),\] \[-2x^2 - 3x + 14 = 3x^2 + 43x + 110,\] \[5x^2 + 46x + 96 = 0.\] \[D = 46^2 - 4 \cdot 5 \cdot 96 = 2116 - 1920 = 196.\] \[x_1 = \frac{-46 - 14}{10} = -6, \quad x_2 = \frac{-46 + 14}{10} = -3{,}2.\]
Оба числа удовлетворяют обоим условиям, значит, оба являются корнями уравнения.
4) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -0{,}4\) и \(x \ne 0{,}5\). Умножим обе части уравнения на \((5x + 2)(2x - 1)\): \[(x + 2)(2x - 1) = (x + 3)(5x + 2),\] \[2x^2 + 3x - 2 = 5x^2 + 17x + 6,\] \[3x^2 + 14x + 8 = 0.\] \[D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 196 - 96 = 100.\] \[x_1 = \frac{-14 - 10}{6} = -4, \quad x_2 = \frac{-14 + 10}{6} = -\frac{2}{3}.\]
Оба числа удовлетворяют обоим условиям, значит, оба являются корнями уравнения.
Ответ: 1) \(-4\) и \(-\frac{2}{3}\); 2) 5; 3) \(-6\) и \(-3{,}2\); 4) \(-4\) и \(-\frac{2}{3}\).
