Страница 84 номер 3.4.48, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Расстояние в 10 км первый турист прошёл на 1 ч 40 мин быстрее, чем второй. Если бы первый турист уменьшил свою скорость на \(\frac{1}{3}\) её первоначальной величины, а второй увеличил бы свою скорость на 1 км/ч, то они затратили бы на тот же путь одинаковое время. Найти скорость второго туриста.
Дано:
\(s = 10\) км — путь каждого туриста
первый турист прошёл его на 1 ч 40 мин быстрее второго
при уменьшении скорости первого на \(\frac{1}{3}\) и увеличении скорости второго на 1 км/ч время стало бы одинаковым
Найти: скорость второго туриста.
Решение:
1 ч 40 мин \(= 1\frac{40}{60}\) ч \(= \frac{5}{3}\) ч.
Пусть \(x\) км/ч — скорость второго туриста, \(y\) км/ч — первого. Время на 10 км \(\frac{10}{x}\) ч и \(\frac{10}{y}\) ч, у второго на \(\frac{5}{3}\) ч больше:
\[\frac{10}{x} - \frac{10}{y} = \frac{5}{3}.\]
Уменьшенная скорость первого равна \(y - \frac{1}{3}y = \frac{2}{3}y\) км/ч, увеличенная скорость второго — \((x + 1)\) км/ч, а время на тот же путь одинаково:
\[\frac{10}{\frac{2}{3}y} = \frac{10}{x + 1}.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\), \(y \ne 0\) и \(x \ne -1\).
Из второго уравнения \(\frac{2}{3}y = x + 1\), то есть \(y = \frac{3}{2}(x + 1)\):
\[\frac{10}{x} - \frac{20}{3(x + 1)} = \frac{5}{3}.\]
Умножим на \(3x(x + 1)\):
\[30(x + 1) - 20x = 5x(x + 1),\]
\[x^2 - x - 6 = 0,\]
\[D = 1 + 24 = 25, \quad x = \frac{1 \pm 5}{2}, \quad x_1 = 3, \ x_2 = -2.\]
Скорость туриста положительна, поэтому корень \(-2\) не подходит по смыслу задачи: скорость второго туриста равна 3 км/ч, первого — \(\frac{3}{2} \cdot 4 = 6\) (км/ч).
Проверка: \(10 : 3 = 3\frac{1}{3}\) (ч) и \(10 : 6 = 1\frac{2}{3}\) (ч) — время второго и первого туристов, разность равна \(1\frac{2}{3}\) ч, то есть 1 ч 40 мин. Изменённые скорости равны \(\frac{2}{3} \cdot 6 = 4\) (км/ч) и \(3 + 1 = 4\) (км/ч) — время у обоих оказалось бы одинаковым.
Ответ: 3 км/ч.
Расстояние в 10 км первый турист прошёл на 1 ч 40 мин быстрее, чем второй. Если бы первый турист уменьшил свою скорость на \(\frac{1}{3}\) её первоначальной величины, а второй увеличил бы свою скорость на 1 км/ч, то они затратили бы на тот же путь одинаковое время. Найти скорость второго туриста.
Дано:
\(s = 10\) км — путь каждого туриста
первый турист прошёл его на 1 ч 40 мин быстрее второго
при уменьшении скорости первого на \(\frac{1}{3}\) и увеличении скорости второго на 1 км/ч время стало бы одинаковым
Найти: скорость второго туриста.
Решение:
1 ч 40 мин \(= 1\frac{40}{60}\) ч \(= \frac{5}{3}\) ч.
Пусть \(x\) км/ч — скорость второго туриста, \(y\) км/ч — скорость первого. Второй турист прошёл 10 км за \(\frac{10}{x}\) ч, первый — за \(\frac{10}{y}\) ч, и второй затратил на \(\frac{5}{3}\) ч больше:
\[\frac{10}{x} - \frac{10}{y} = \frac{5}{3}.\]
Уменьшенная скорость первого туриста равна \(y - \frac{1}{3}y = \frac{2}{3}y\) км/ч, увеличенная скорость второго равна \((x + 1)\) км/ч, и на тот же путь они затратили бы одинаковое время:
\[\frac{10}{\frac{2}{3}y} = \frac{10}{x + 1}.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\), \(y \ne 0\) и \(x \ne -1\).
Из второго уравнения \(\frac{2}{3}y = x + 1\), то есть \(y = \frac{3}{2}(x + 1)\). Подставим это выражение в первое уравнение:
\[\frac{10}{x} - \frac{20}{3(x + 1)} = \frac{5}{3}.\]
Умножим обе части на \(3x(x + 1)\):
\[30(x + 1) - 20x = 5x(x + 1),\]
\[10x + 30 = 5x^2 + 5x,\]
\[x^2 - x - 6 = 0,\]
\[D = 1 + 24 = 25,\]
\[x = \frac{1 \pm 5}{2}, \quad x_1 = 3, \ x_2 = -2.\]
Скорость туриста положительна, поэтому корень \(-2\) не подходит по смыслу задачи. Скорость второго туриста равна 3 км/ч, скорость первого — \(\frac{3}{2} \cdot 4 = 6\) (км/ч).
Проверка: \(10 : 3 = 3\frac{1}{3}\) (ч) и \(10 : 6 = 1\frac{2}{3}\) (ч) — время второго и первого туристов, разность равна \(1\frac{2}{3}\) ч, то есть 1 ч 40 мин. Изменённые скорости равны \(\frac{2}{3} \cdot 6 = 4\) (км/ч) и \(3 + 1 = 4\) (км/ч), поэтому время у обоих оказалось бы одинаковым.
Ответ: 3 км/ч.
