Страница 84 номер 3.4.47, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Найти три числа, из которых второе больше первого на столько же, на сколько третье больше второго, если известно, что произведение первых двух чисел равно 115, а произведение последних двух чисел равно 85.
Пусть \(b\) — второе число, \(d\) — число, на которое второе число больше первого. Тогда первое число равно \(b - d\), третье равно \(b + d\), а \(d\) положительно, так как второе число больше первого.
\[\begin{cases} (b - d)b = 115, \\ b(b + d) = 85. \end{cases}\]
Сложим уравнения почленно:
\[2b^2 = 200, \quad b^2 = 100, \quad b_1 = 10, \ b_2 = -10.\]
При \(b = 10\): \((10 - d) \cdot 10 = 115\), \(10 - d = 11{,}5\), \(d = -1{,}5\). Число \(d\) отрицательно, поэтому тройка \(11{,}5\); \(10\); \(8{,}5\) условию не отвечает и не подходит.
При \(b = -10\): \((-10 - d) \cdot (-10) = 115\), \(-10 - d = -11{,}5\), \(d = 1{,}5\). Искомые числа равны \(-11{,}5\); \(-10\); \(-8{,}5\).
Проверка: \(-10 - (-11{,}5) = 1{,}5\) и \(-8{,}5 - (-10) = 1{,}5\); \((-11{,}5) \cdot (-10) = 115\) и \((-10) \cdot (-8{,}5) = 85\).
Ответ: \(-11{,}5\); \(-10\); \(-8{,}5\).
Найти три числа, из которых второе больше первого на столько же, на сколько третье больше второго, если известно, что произведение первых двух чисел равно 115, а произведение последних двух чисел равно 85.
Пусть \(b\) — второе число, а \(d\) — число, на которое второе число больше первого. По условию третье число больше второго на столько же, поэтому первое число равно \(b - d\), а третье равно \(b + d\). Так как второе число больше первого, число \(d\) положительно.
Произведение первых двух чисел равно 115, произведение последних двух равно 85:
\[\begin{cases} (b - d)b = 115, \\ b(b + d) = 85. \end{cases}\]
Сложим уравнения почленно:
\[b^2 - bd + b^2 + bd = 200,\]
\[2b^2 = 200,\]
\[b^2 = 100, \quad b_1 = 10, \ b_2 = -10.\]
При \(b = 10\) первое уравнение даёт \((10 - d) \cdot 10 = 115\), то есть \(10 - d = 11{,}5\) и \(d = -1{,}5\). Число \(d\) отрицательно, а по условию второе число больше первого. Тройка \(11{,}5\); \(10\); \(8{,}5\) этому условию не отвечает и не подходит.
При \(b = -10\) первое уравнение даёт \((-10 - d) \cdot (-10) = 115\), то есть \(-10 - d = -11{,}5\) и \(d = 1{,}5\). Искомые числа равны \(-11{,}5\); \(-10\); \(-8{,}5\).
Проверка: \(-10 - (-11{,}5) = 1{,}5\) и \(-8{,}5 - (-10) = 1{,}5\) — второе число больше первого на столько же, на сколько третье больше второго; \((-11{,}5) \cdot (-10) = 115\) и \((-10) \cdot (-8{,}5) = 85\).
Ответ: \(-11{,}5\); \(-10\); \(-8{,}5\).
