Страница 84 номер 3.4.46, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить систему уравнений с параметром \(a\): 1) \(\begin{cases} x + y = 4a, \\ xy = 3a^2; \end{cases}\) 2) \(\begin{cases} xy = -5a^2, \\ x + y = 4a; \end{cases}\) 3) \(\begin{cases} x - y = 4, \\ xy = a^2 - 4; \end{cases}\) 4) \(\begin{cases} xy = a^2 - a, \\ x - y = 1; \end{cases}\) 5) \(\begin{cases} x^2 - y = 0, \\ ax - y = 0; \end{cases}\) 6) \(\begin{cases} x^2 - y = 2, \\ y = a. \end{cases}\)
1) Из первого уравнения \(y = 4a - x\), тогда \(x(4a - x) = 3a^2\):
\[x^2 - 4ax + 3a^2 = x^2 - ax - 3ax + 3a^2 = x(x - a) - 3a(x - a) = (x - a)(x - 3a) = 0.\]
Значит, \(x = a\) или \(x = 3a\). По формуле \(y = 4a - x\): при \(x = a\) получаем \(y = 3a\), при \(x = 3a\) получаем \(y = a\).
2) Из второго уравнения \(y = 4a - x\), тогда \(x(4a - x) = -5a^2\):
\[x^2 - 4ax - 5a^2 = x^2 + ax - 5ax - 5a^2 = x(x + a) - 5a(x + a) = (x + a)(x - 5a) = 0.\]
Значит, \(x = -a\) или \(x = 5a\). По формуле \(y = 4a - x\): при \(x = -a\) получаем \(y = 5a\), при \(x = 5a\) получаем \(y = -a\).
3) Из первого уравнения \(x = y + 4\), тогда \((y + 4)y = a^2 - 4\):
\[y^2 + 4y + 4 - a^2 = (y + 2)^2 - a^2 = (y + 2 - a)(y + 2 + a) = 0.\]
Значит, \(y = a - 2\) или \(y = -a - 2\). По формуле \(x = y + 4\): при \(y = a - 2\) получаем \(x = a + 2\), при \(y = -a - 2\) получаем \(x = 2 - a\).
4) Из второго уравнения \(x = y + 1\), тогда \((y + 1)y = a^2 - a\):
\[y^2 + y - a^2 + a = (y^2 - a^2) + (y + a) = (y - a)(y + a) + (y + a) = (y + a)(y - a + 1) = 0.\]
Значит, \(y = -a\) или \(y = a - 1\). По формуле \(x = y + 1\): при \(y = -a\) получаем \(x = 1 - a\), при \(y = a - 1\) получаем \(x = a\).
5) Из первого уравнения \(y = x^2\), тогда \(ax - x^2 = 0\), \(x(a - x) = 0\).
Значит, \(x = 0\) или \(x = a\). По формуле \(y = x^2\): при \(x = 0\) получаем \(y = 0\), при \(x = a\) получаем \(y = a^2\).
6) Подставим \(y = a\) в первое уравнение: \(x^2 = 2 + a\).
Если \(a < -2\), то число \(2 + a\) отрицательно, а квадрат числа отрицательным не бывает, и решений нет.
Если \(a = -2\), то \(x^2 = 0\), \(x = 0\), и решение единственное: \((0;\ -2)\).
Если \(a > -2\), то число \(2 + a\) положительно и \(x = -\sqrt{2 + a}\) или \(x = \sqrt{2 + a}\) — два решения.
Ответ: 1) \((a;\ 3a)\), \((3a;\ a)\); 2) \((-a;\ 5a)\), \((5a;\ -a)\); 3) \((a + 2;\ a - 2)\), \((2 - a;\ -a - 2)\); 4) \((a;\ a - 1)\), \((1 - a;\ -a)\); 5) \((0;\ 0)\), \(\left(a;\ a^2\right)\); 6) при \(a < -2\) решений нет, при \(a = -2\) решение \((0;\ -2)\), при \(a > -2\) решения \(\left(-\sqrt{2 + a};\ a\right)\), \(\left(\sqrt{2 + a};\ a\right)\).
Решить систему уравнений с параметром \(a\): 1) \(\begin{cases} x + y = 4a, \\ xy = 3a^2; \end{cases}\) 2) \(\begin{cases} xy = -5a^2, \\ x + y = 4a; \end{cases}\) 3) \(\begin{cases} x - y = 4, \\ xy = a^2 - 4; \end{cases}\) 4) \(\begin{cases} xy = a^2 - a, \\ x - y = 1; \end{cases}\) 5) \(\begin{cases} x^2 - y = 0, \\ ax - y = 0; \end{cases}\) 6) \(\begin{cases} x^2 - y = 2, \\ y = a. \end{cases}\)
1)
\[\begin{cases} x + y = 4a, \\ xy = 3a^2. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(y = 4a - x\). Подставим во второе:
\[x(4a - x) = 3a^2,\]
\[x^2 - 4ax + 3a^2 = 0.\]
Разложим левую часть на множители группировкой:
\[x^2 - ax - 3ax + 3a^2 = x(x - a) - 3a(x - a) = (x - a)(x - 3a).\]
Значит, \(x = a\) или \(x = 3a\). По формуле \(y = 4a - x\): при \(x = a\) получаем \(y = 3a\), при \(x = 3a\) получаем \(y = a\).
2)
\[\begin{cases} xy = -5a^2, \\ x + y = 4a. \end{cases}\]
Из второго уравнения \(y = 4a - x\). Подставим в первое:
\[x(4a - x) = -5a^2,\]
\[x^2 - 4ax - 5a^2 = 0.\]
Разложим левую часть на множители группировкой:
\[x^2 + ax - 5ax - 5a^2 = x(x + a) - 5a(x + a) = (x + a)(x - 5a).\]
Значит, \(x = -a\) или \(x = 5a\). По формуле \(y = 4a - x\): при \(x = -a\) получаем \(y = 5a\), при \(x = 5a\) получаем \(y = -a\).
3)
\[\begin{cases} x - y = 4, \\ xy = a^2 - 4. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(x = y + 4\). Подставим во второе:
\[(y + 4)y = a^2 - 4,\]
\[y^2 + 4y + 4 - a^2 = 0,\]
\[(y + 2)^2 - a^2 = 0,\]
\[(y + 2 - a)(y + 2 + a) = 0.\]
Значит, \(y = a - 2\) или \(y = -a - 2\). По формуле \(x = y + 4\): при \(y = a - 2\) получаем \(x = a + 2\), при \(y = -a - 2\) получаем \(x = 2 - a\).
4)
\[\begin{cases} xy = a^2 - a, \\ x - y = 1. \end{cases}\]
Из второго уравнения \(x = y + 1\). Подставим в первое:
\[(y + 1)y = a^2 - a,\]
\[y^2 + y - a^2 + a = 0.\]
Сгруппируем слагаемые:
\[(y^2 - a^2) + (y + a) = (y - a)(y + a) + (y + a) = (y + a)(y - a + 1) = 0.\]
Значит, \(y = -a\) или \(y = a - 1\). По формуле \(x = y + 1\): при \(y = -a\) получаем \(x = 1 - a\), при \(y = a - 1\) получаем \(x = a\).
5)
\[\begin{cases} x^2 - y = 0, \\ ax - y = 0. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(y = x^2\). Подставим во второе:
\[ax - x^2 = 0,\]
\[x(a - x) = 0.\]
Значит, \(x = 0\) или \(x = a\). По формуле \(y = x^2\): при \(x = 0\) получаем \(y = 0\), при \(x = a\) получаем \(y = a^2\).
6)
\[\begin{cases} x^2 - y = 2, \\ y = a. \end{cases}\]
Подставим \(y = a\) в первое уравнение:
\[x^2 = 2 + a.\]
Если \(a < -2\), то число \(2 + a\) отрицательно, а квадрат числа отрицательным не бывает, и решений нет.
Если \(a = -2\), то \(x^2 = 0\), \(x = 0\), и система имеет единственное решение \((0;\ -2)\).
Если \(a > -2\), то число \(2 + a\) положительно и \(x = -\sqrt{2 + a}\) или \(x = \sqrt{2 + a}\) — система имеет два решения.
Ответ: 1) \((a;\ 3a)\), \((3a;\ a)\); 2) \((-a;\ 5a)\), \((5a;\ -a)\); 3) \((a + 2;\ a - 2)\), \((2 - a;\ -a - 2)\); 4) \((a;\ a - 1)\), \((1 - a;\ -a)\); 5) \((0;\ 0)\), \(\left(a;\ a^2\right)\); 6) при \(a < -2\) решений нет, при \(a = -2\) решение \((0;\ -2)\), при \(a > -2\) решения \(\left(-\sqrt{2 + a};\ a\right)\), \(\left(\sqrt{2 + a};\ a\right)\).
