Страница 84 номер 3.4.45, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

Каждое уравнение дробное, поэтому сначала выписываются условия, при которых знаменатели отличны от нуля, затем уравнение приводится к виду \(kx = b\), а найденный корень проверяется по этим условиям: если при каком-то значении параметра он обращает знаменатель в нуль, корней у уравнения нет.

1) \(\frac{7}{2 + x} = \frac{a}{x}\).

Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -2\) и \(x \ne 0\). По основному свойству пропорции

\[7x = a(2 + x),\]

\[(7 - a)x = 2a.\]

При \(a = 7\) уравнение принимает вид \(0 \cdot x = 14\) и корней не имеет.

При \(a \ne 7\) получаем \(x = \frac{2a}{7 - a}\). Это число равно нулю при \(a = 0\), а нуль в число допустимых значений не входит, поэтому при \(a = 0\) корней нет. Числу \(-2\) найденный корень равен быть не может: из \(\frac{2a}{7 - a} = -2\) следует \(2a = 2a - 14\), то есть \(0 = -14\).

2) \(\frac{a}{x + 1} = \frac{5}{x - 2}\).

Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -1\) и \(x \ne 2\). По основному свойству пропорции

\[a(x - 2) = 5(x + 1),\]

\[(a - 5)x = 2a + 5.\]

При \(a = 5\) уравнение принимает вид \(0 \cdot x = 15\) и корней не имеет.

При \(a \ne 5\) получаем \(x = \frac{2a + 5}{a - 5}\). Этот корень равен \(-1\), когда \(2a + 5 = 5 - a\), то есть при \(a = 0\); при \(a = 0\) корней нет. Числу 2 он равен быть не может: из \(2a + 5 = 2a - 10\) следует \(5 = -10\).

3) \(\frac{6}{x + 3} = 10 - a\).

Знаменатель не равен нулю при \(x \ne -3\). Умножим обе части на \(x + 3\):

\[6 = (10 - a)(x + 3).\]

При \(a = 10\) правая часть равна нулю, а левая равна 6, поэтому корней нет.

При \(a \ne 10\) получаем \(x + 3 = \frac{6}{10 - a}\), то есть

\[x = \frac{6 - 3(10 - a)}{10 - a} = \frac{3a - 24}{10 - a}.\]

Числу \(-3\) найденный корень равен быть не может: тогда дробь \(\frac{6}{10 - a}\) равнялась бы нулю, что невозможно.

4) \(7 - a = \frac{2}{x - 1}\).

Знаменатель не равен нулю при \(x \ne 1\). Умножим обе части на \(x - 1\):

\[(7 - a)(x - 1) = 2.\]

При \(a = 7\) левая часть равна нулю, а правая равна 2, поэтому корней нет.

При \(a \ne 7\) получаем \(x - 1 = \frac{2}{7 - a}\), то есть

\[x = \frac{2 + 7 - a}{7 - a} = \frac{9 - a}{7 - a}.\]

Числу 1 этот корень равен быть не может: тогда дробь \(\frac{2}{7 - a}\) равнялась бы нулю.

5) \(\frac{a}{3a + x} = \frac{2}{1 + x}\).

Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -3a\) и \(x \ne -1\). По основному свойству пропорции

\[a(1 + x) = 2(3a + x),\]

\[a + ax = 6a + 2x,\]

\[(a - 2)x = 5a.\]

При \(a = 2\) уравнение принимает вид \(0 \cdot x = 10\) и корней не имеет.

При \(a \ne 2\) получаем \(x = \frac{5a}{a - 2}\). Этот корень равен \(-1\), когда \(5a = 2 - a\), то есть при \(a = \frac{1}{3}\). Он равен \(-3a\), когда \(5a = -3a(a - 2)\), то есть \(3a^2 - a = 0\), \(a(3a - 1) = 0\), откуда \(a = 0\) или \(a = \frac{1}{3}\). При \(a = 0\) и \(a = \frac{1}{3}\) найденное число не входит в число допустимых значений, и уравнение корней не имеет.

6) \(\frac{3}{4x - a} = \frac{2}{ax - 5}\).

Знаменатели не равны нулю при \(4x - a \ne 0\) и \(ax - 5 \ne 0\). По основному свойству пропорции

\[3(ax - 5) = 2(4x - a),\]

\[3ax - 15 = 8x - 2a,\]

\[(3a - 8)x = 15 - 2a.\]

При \(a = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}\) уравнение принимает вид \(0 \cdot x = 9\frac{2}{3}\) и корней не имеет.

При \(a \ne 2\frac{2}{3}\) получаем \(x = \frac{15 - 2a}{3a - 8}\). Равенство \(4x = a\) означает, что \(4(15 - 2a) = a(3a - 8)\), то есть \(60 - 8a = 3a^2 - 8a\), \(a^2 = 20\), откуда \(a = 2\sqrt{5}\) или \(a = -2\sqrt{5}\). Равенство \(ax = 5\) означает, что \(a(15 - 2a) = 5(3a - 8)\), то есть \(15a - 2a^2 = 15a - 40\), снова \(a^2 = 20\). Значит, при \(a = 2\sqrt{5}\) и \(a = -2\sqrt{5}\) найденное число обращает знаменатель в нуль и корней у уравнения нет.

7) \(\frac{a + 2}{a + 1} = \frac{3}{x} - \frac{5}{x(a + 1)}\).

Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(a \ne -1\). При \(a = -1\) дроби \(\frac{a + 2}{a + 1}\) и \(\frac{5}{x(a + 1)}\) не имеют смысла ни при каком \(x\), поэтому корней нет.

Пусть \(a \ne -1\). Умножим обе части уравнения на \(x(a + 1)\):

\[x(a + 2) = 3(a + 1) - 5,\]

\[(a + 2)x = 3a - 2.\]

При \(a = -2\) уравнение принимает вид \(0 \cdot x = -8\) и корней не имеет.

При \(a \ne -2\) получаем \(x = \frac{3a - 2}{a + 2}\). Это число равно нулю при \(a = \frac{2}{3}\), а нуль в число допустимых значений не входит, поэтому при \(a = \frac{2}{3}\) корней нет.

8) \(\frac{x - 3}{x + 2} + \frac{5}{a} = \frac{4}{a(x + 2)}\).

Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -2\) и \(a \ne 0\). При \(a = 0\) дроби \(\frac{5}{a}\) и \(\frac{4}{a(x + 2)}\) не имеют смысла ни при каком \(x\), поэтому корней нет.

Пусть \(a \ne 0\). Умножим обе части уравнения на \(a(x + 2)\):

\[a(x - 3) + 5(x + 2) = 4,\]

\[ax - 3a + 5x + 10 = 4,\]

\[(a + 5)x = 3a - 6.\]

При \(a = -5\) уравнение принимает вид \(0 \cdot x = -21\) и корней не имеет.

При \(a \ne -5\) получаем \(x = \frac{3a - 6}{a + 5}\). Этот корень равен \(-2\), когда \(3a - 6 = -2a - 10\), то есть \(5a = -4\), \(a = -0{,}8\); при \(a = -0{,}8\) корней нет.

Ответ: 1) при \(a = 0\) и \(a = 7\) корней нет, при остальных \(a\) \(x = \frac{2a}{7 - a}\); 2) при \(a = 0\) и \(a = 5\) корней нет, при остальных \(a\) \(x = \frac{2a + 5}{a - 5}\); 3) при \(a = 10\) корней нет, при остальных \(a\) \(x = \frac{3a - 24}{10 - a}\); 4) при \(a = 7\) корней нет, при остальных \(a\) \(x = \frac{9 - a}{7 - a}\); 5) при \(a = 0\), \(a = \frac{1}{3}\) и \(a = 2\) корней нет, при остальных \(a\) \(x = \frac{5a}{a - 2}\); 6) при \(a = 2\frac{2}{3}\), \(a = 2\sqrt{5}\) и \(a = -2\sqrt{5}\) корней нет, при остальных \(a\) \(x = \frac{15 - 2a}{3a - 8}\); 7) при \(a = -2\), \(a = -1\) и \(a = \frac{2}{3}\) корней нет, при остальных \(a\) \(x = \frac{3a - 2}{a + 2}\); 8) при \(a = -5\), \(a = -0{,}8\) и \(a = 0\) корней нет, при остальных \(a\) \(x = \frac{3a - 6}{a + 5}\).