Страница 83 номер 3.4.44, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить систему уравнений: 1) \(\begin{cases}x^2 - 2xy - 3y^2 = 0,\\ x^2 - xy - 2x - 3y = 6;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}x^3 + y^3 = 2,\\ xy(x + y) = 2;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}\frac{1}{2x - y} + y = -5,\\ \frac{y}{2x - y} = 6;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3},\\ \frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{1}{y^2} = \frac{1}{4}.\end{cases}\)
1) Левая часть первого уравнения раскладывается на множители группировкой:
\[x^2 - 2xy - 3y^2 = x^2 - 3xy + xy - 3y^2 = x(x - 3y) + y(x - 3y) = (x - 3y)(x + y).\]
Нулю равен один из множителей, то есть \(x = 3y\) или \(x = -y\):
\[\left[\begin{array}{l} \begin{cases} x = 3y, \\ x^2 - xy - 2x - 3y = 6, \end{cases} \\ \begin{cases} x = -y, \\ x^2 - xy - 2x - 3y = 6. \end{cases} \end{array}\right.\]
В первой системе при \(x = 3y\):
\[9y^2 - 3y^2 - 6y - 3y = 6,\]
\[2y^2 - 3y - 2 = 0,\]
\[D = 9 + 16 = 25, \quad y = \frac{3 \pm 5}{4}, \quad y_1 = 2, \ y_2 = -0{,}5.\]
По формуле \(x = 3y\) получаем \(x_1 = 6\) и \(x_2 = -1{,}5\).
Во второй системе при \(y = -x\):
\[x^2 + x^2 - 2x + 3x = 6,\]
\[2x^2 + x - 6 = 0,\]
\[D = 1 + 48 = 49, \quad x = \frac{-1 \pm 7}{4}, \quad x_3 = 1{,}5, \ x_4 = -2.\]
По формуле \(y = -x\) получаем \(y_3 = -1{,}5\) и \(y_4 = 2\).
2) Левые части обоих уравнений равны 2, значит, \(x^3 + y^3 = xy(x + y)\):
\[(x + y)(x^2 - xy + y^2) - xy(x + y) = 0,\]
\[(x + y)(x - y)^2 = 0.\]
Значит, \(x + y = 0\) или \(x = y\).
Если \(x + y = 0\), то \(xy(x + y) = 0\), а по второму уравнению это произведение равно 2, поэтому таких решений нет.
Если \(x = y\), то первое уравнение даёт \(2x^3 = 2\), \(x^3 - 1 = 0\), \((x - 1)(x^2 + x + 1) = 0\). У уравнения \(x^2 + x + 1 = 0\) дискриминант \(D = 1 - 4 = -3\) отрицателен, корней оно не имеет. Значит, \(x = 1\) и \(y = 1\); второе уравнение при этом обращается в верное равенство \(1 \cdot 1 \cdot 2 = 2\).
3) Знаменатели не равны нулю при \(2x - y \ne 0\). Пусть \(u = \frac{1}{2x - y}\); тогда \(\frac{y}{2x - y} = yu\):
\[\begin{cases} u + y = -5, \\ yu = 6. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(u = -5 - y\), тогда \(y(-5 - y) = 6\):
\[y^2 + 5y + 6 = 0,\]
\[D = 25 - 24 = 1, \quad y = \frac{-5 \pm 1}{2}, \quad y_1 = -2, \ y_2 = -3.\]
При \(y = -2\) получаем \(u = -3\), то есть \(2x - y = -\frac{1}{3}\), \(2x = -2 - \frac{1}{3} = -\frac{7}{3}\), \(x = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6}\).
При \(y = -3\) получаем \(u = -2\), то есть \(2x - y = -\frac{1}{2}\), \(2x = -3 - 0{,}5 = -3{,}5\), \(x = -1{,}75\).
В обоих случаях \(2x - y \ne 0\), значит, обе пары — решения.
4) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -1\) и \(y \ne 0\). Пусть \(a = \frac{1}{x + 1}\), \(b = \frac{1}{y}\); тогда \(\frac{1}{(x + 1)^2} = a^2\) и \(\frac{1}{y^2} = b^2\):
\[\begin{cases} a + b = \frac{1}{3}, \\ a^2 - b^2 = \frac{1}{4}. \end{cases}\]
Так как \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\), второе уравнение даёт \(\frac{1}{3}(a - b) = \frac{1}{4}\), откуда \(a - b = \frac{3}{4}\).
Сложив уравнения \(a + b = \frac{1}{3}\) и \(a - b = \frac{3}{4}\), получим \(2a = \frac{13}{12}\), \(a = \frac{13}{24}\); тогда \(b = \frac{1}{3} - \frac{13}{24} = -\frac{5}{24}\).
Обратная замена: \(\frac{1}{x + 1} = \frac{13}{24}\), откуда \(x + 1 = \frac{24}{13}\) и \(x = \frac{11}{13}\); \(\frac{1}{y} = -\frac{5}{24}\), откуда \(y = -\frac{24}{5} = -4{,}8\). Найденные значения не обращают знаменатели в нуль.
Ответ: 1) \((-2;\ 2)\), \((-1{,}5;\ -0{,}5)\), \((1{,}5;\ -1{,}5)\), \((6;\ 2)\); 2) \((1;\ 1)\); 3) \((-1{,}75;\ -3)\), \(\left(-1\frac{1}{6};\ -2\right)\); 4) \(\left(\frac{11}{13};\ -4{,}8\right)\).
Решить систему уравнений: 1) \(\begin{cases}x^2 - 2xy - 3y^2 = 0,\\ x^2 - xy - 2x - 3y = 6;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}x^3 + y^3 = 2,\\ xy(x + y) = 2;\end{cases}\) 3) \(\begin{cases}\frac{1}{2x - y} + y = -5,\\ \frac{y}{2x - y} = 6;\end{cases}\) 4) \(\begin{cases}\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3},\\ \frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{1}{y^2} = \frac{1}{4}.\end{cases}\)
1)
\[\begin{cases} x^2 - 2xy - 3y^2 = 0, \\ x^2 - xy - 2x - 3y = 6. \end{cases}\]
Левая часть первого уравнения раскладывается на множители группировкой:
\[x^2 - 2xy - 3y^2 = x^2 - 3xy + xy - 3y^2 = x(x - 3y) + y(x - 3y) = (x - 3y)(x + y).\]
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, то есть \(x = 3y\) или \(x = -y\). Система равносильна совокупности систем:
\[\left[\begin{array}{l} \begin{cases} x = 3y, \\ x^2 - xy - 2x - 3y = 6, \end{cases} \\ \begin{cases} x = -y, \\ x^2 - xy - 2x - 3y = 6. \end{cases} \end{array}\right.\]
В первой системе подставим \(x = 3y\) во второе уравнение:
\[9y^2 - 3y^2 - 6y - 3y = 6,\]
\[6y^2 - 9y - 6 = 0,\]
\[2y^2 - 3y - 2 = 0,\]
\[D = 9 + 16 = 25,\]
\[y = \frac{3 \pm 5}{4}, \quad y_1 = 2, \ y_2 = -0{,}5.\]
По формуле \(x = 3y\) получаем \(x_1 = 6\) и \(x_2 = -1{,}5\).
Во второй системе подставим \(y = -x\) во второе уравнение:
\[x^2 + x^2 - 2x + 3x = 6,\]
\[2x^2 + x - 6 = 0,\]
\[D = 1 + 48 = 49,\]
\[x = \frac{-1 \pm 7}{4}, \quad x_3 = 1{,}5, \ x_4 = -2.\]
По формуле \(y = -x\) получаем \(y_3 = -1{,}5\) и \(y_4 = 2\).
2)
\[\begin{cases} x^3 + y^3 = 2, \\ xy(x + y) = 2. \end{cases}\]
Левые части обоих уравнений равны 2, значит, они равны и между собой:
\[x^3 + y^3 = xy(x + y).\]
Разложим сумму кубов на множители и перенесём всё в левую часть:
\[(x + y)(x^2 - xy + y^2) - xy(x + y) = 0,\]
\[(x + y)(x^2 - 2xy + y^2) = 0,\]
\[(x + y)(x - y)^2 = 0.\]
Значит, \(x + y = 0\) или \(x = y\).
Если \(x + y = 0\), то \(xy(x + y) = 0\), а по второму уравнению системы это произведение равно 2. Таких решений нет.
Если \(x = y\), то первое уравнение даёт
\[2x^3 = 2,\]
\[x^3 - 1 = 0,\]
\[(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0.\]
У уравнения \(x^2 + x + 1 = 0\) дискриминант \(D = 1 - 4 = -3\) отрицателен, корней оно не имеет. Значит, \(x = 1\) и \(y = 1\). Второе уравнение при этом обращается в верное равенство: \(1 \cdot 1 \cdot 2 = 2\).
3)
\[\begin{cases} \frac{1}{2x - y} + y = -5, \\ \frac{y}{2x - y} = 6. \end{cases}\]
Знаменатели не равны нулю при \(2x - y \ne 0\).
Введём новую переменную \(u = \frac{1}{2x - y}\); тогда \(\frac{y}{2x - y} = yu\), и система принимает вид
\[\begin{cases} u + y = -5, \\ yu = 6. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(u = -5 - y\). Подставим во второе:
\[y(-5 - y) = 6,\]
\[y^2 + 5y + 6 = 0,\]
\[D = 25 - 24 = 1,\]
\[y = \frac{-5 \pm 1}{2}, \quad y_1 = -2, \ y_2 = -3.\]
При \(y = -2\) получаем \(u = -3\), то есть \(\frac{1}{2x - y} = -3\), откуда \(2x - y = -\frac{1}{3}\), \(2x = -2 - \frac{1}{3} = -\frac{7}{3}\), \(x = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6}\).
При \(y = -3\) получаем \(u = -2\), то есть \(2x - y = -\frac{1}{2}\), \(2x = -3 - 0{,}5 = -3{,}5\), \(x = -1{,}75\).
В обоих случаях \(2x - y \ne 0\), значит, обе пары являются решениями.
4)
\[\begin{cases} \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y} = \frac{1}{3}, \\ \frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{1}{y^2} = \frac{1}{4}. \end{cases}\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -1\) и \(y \ne 0\).
Введём новые переменные \(a = \frac{1}{x + 1}\), \(b = \frac{1}{y}\); тогда \(\frac{1}{(x + 1)^2} = a^2\) и \(\frac{1}{y^2} = b^2\):
\[\begin{cases} a + b = \frac{1}{3}, \\ a^2 - b^2 = \frac{1}{4}. \end{cases}\]
Так как \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\), второе уравнение принимает вид \(\frac{1}{3}(a - b) = \frac{1}{4}\), откуда \(a - b = \frac{3}{4}\).
Сложив уравнения \(a + b = \frac{1}{3}\) и \(a - b = \frac{3}{4}\), получим \(2a = \frac{13}{12}\), \(a = \frac{13}{24}\); тогда \(b = \frac{1}{3} - \frac{13}{24} = -\frac{5}{24}\).
Обратная замена: \(\frac{1}{x + 1} = \frac{13}{24}\), откуда \(x + 1 = \frac{24}{13}\) и \(x = \frac{11}{13}\); \(\frac{1}{y} = -\frac{5}{24}\), откуда \(y = -\frac{24}{5} = -4{,}8\). Найденные значения не обращают знаменатели в нуль.
Ответ: 1) \((-2;\ 2)\), \((-1{,}5;\ -0{,}5)\), \((1{,}5;\ -1{,}5)\), \((6;\ 2)\); 2) \((1;\ 1)\); 3) \((-1{,}75;\ -3)\), \(\left(-1\frac{1}{6};\ -2\right)\); 4) \(\left(\frac{11}{13};\ -4{,}8\right)\).
