Страница 83 номер 3.4.43, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить уравнение: \[\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3x + 2}}} = \frac{3x^2 + 11x + 10}{36x^2 - 25} - \frac{3 - 2x}{6x - 5}.\]
Знаменатели левой части: \(3x + 2\), затем \(1 + \frac{1}{3x + 2} = \frac{3x + 3}{3x + 2}\) и \(1 + \frac{3x + 2}{3x + 3} = \frac{6x + 5}{3x + 3}\); правой части: \(36x^2 - 25 = (6x - 5)(6x + 5)\) и \(6x - 5\). Все они отличны от нуля при \(x \ne -1\), \(x \ne -\frac{2}{3}\), \(x \ne -\frac{5}{6}\) и \(x \ne \frac{5}{6}\).
Попутно упростилась левая часть:
\[\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3x + 2}}} = \frac{1}{\frac{6x + 5}{3x + 3}} = \frac{3x + 3}{6x + 5}.\]
Приведём правую часть к общему знаменателю \((6x - 5)(6x + 5)\), учитывая, что \((3 - 2x)(6x + 5) = -12x^2 + 8x + 15\):
\[\frac{3x^2 + 11x + 10 + 12x^2 - 8x - 15}{(6x - 5)(6x + 5)} = \frac{15x^2 + 3x - 5}{(6x - 5)(6x + 5)}.\]
Уравнение приняло вид \(\frac{3x + 3}{6x + 5} = \frac{15x^2 + 3x - 5}{(6x - 5)(6x + 5)}\); умножим обе части на \((6x - 5)(6x + 5)\):
\[(3x + 3)(6x - 5) = 15x^2 + 3x - 5,\]
\[18x^2 + 3x - 15 = 15x^2 + 3x - 5,\]
\[x^2 = \frac{10}{3}, \quad x = \pm\sqrt{\frac{10}{3}} = \pm\frac{\sqrt{30}}{3}.\]
Ни один из корней не обращает знаменатели в нуль: квадраты запретных значений равны \(1\), \(\frac{4}{9}\) и \(\frac{25}{36}\), а квадрат каждого найденного корня равен \(\frac{10}{3}\).
Ответ: \(-\frac{\sqrt{30}}{3}\); \(\frac{\sqrt{30}}{3}\).
Решить уравнение: \[\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3x + 2}}} = \frac{3x^2 + 11x + 10}{36x^2 - 25} - \frac{3 - 2x}{6x - 5}.\]
Найдём, при каких значениях \(x\) все знаменатели отличны от нуля. В левой части это \(3x + 2\), затем \(1 + \frac{1}{3x + 2} = \frac{3x + 3}{3x + 2}\) и, наконец, \(1 + \frac{3x + 2}{3x + 3} = \frac{6x + 5}{3x + 3}\); в правой части это \(36x^2 - 25 = (6x - 5)(6x + 5)\) и \(6x - 5\). Все эти выражения отличны от нуля при \(x \ne -1\), \(x \ne -\frac{2}{3}\), \(x \ne -\frac{5}{6}\) и \(x \ne \frac{5}{6}\).
Попутно упростилась левая часть уравнения:
\[\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3x + 2}}} = \frac{1}{\frac{6x + 5}{3x + 3}} = \frac{3x + 3}{6x + 5}.\]
Правую часть приведём к общему знаменателю \((6x - 5)(6x + 5)\), учитывая, что \((3 - 2x)(6x + 5) = -12x^2 + 8x + 15\):
\[\begin{aligned} &\frac{3x^2 + 11x + 10}{(6x - 5)(6x + 5)} - \frac{(3 - 2x)(6x + 5)}{(6x - 5)(6x + 5)} = {} \\ &= \frac{3x^2 + 11x + 10 + 12x^2 - 8x - 15}{(6x - 5)(6x + 5)} = \frac{15x^2 + 3x - 5}{(6x - 5)(6x + 5)}. \end{aligned}\]
Уравнение приняло вид
\[\frac{3x + 3}{6x + 5} = \frac{15x^2 + 3x - 5}{(6x - 5)(6x + 5)}.\]
Умножим обе части на \((6x - 5)(6x + 5)\):
\[(3x + 3)(6x - 5) = 15x^2 + 3x - 5,\]
\[18x^2 + 3x - 15 = 15x^2 + 3x - 5,\]
\[3x^2 = 10,\]
\[x^2 = \frac{10}{3}, \quad x = \pm\sqrt{\frac{10}{3}} = \pm\frac{\sqrt{30}}{3}.\]
Ни один из этих корней не обращает знаменатели в нуль: квадраты запретных значений \(-1\), \(-\frac{2}{3}\), \(-\frac{5}{6}\), \(\frac{5}{6}\) равны \(1\), \(\frac{4}{9}\) и \(\frac{25}{36}\), а квадрат каждого найденного корня равен \(\frac{10}{3}\).
Ответ: \(-\frac{\sqrt{30}}{3}\); \(\frac{\sqrt{30}}{3}\).
