Страница 83 номер 3.4.42, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) Первая машинистка перепечатывает 6 страниц за то же время, за которое вторая перепечатывает 5 страниц. Сколько страниц текста перепечатывает за час каждая машинистка, если 72 страницы текста первая машинистка перепечатывала в 1,5 раза быстрее, чем вторая? 2) Две трубы заполняли бассейн объёмом 54 м\(^3\), причём первая труба была открыта 3 ч, а вторая — 2 ч. Какова пропускная способность каждой трубы, если первая заполняет 1 м\(^3\) на 1 мин дольше, чем вторая?
1)
Дано:
за одно и то же время первая машинистка перепечатывает 6 страниц, вторая — 5 страниц
72 страницы первая машинистка перепечатывала быстрее второй
Найти: число страниц, которые перепечатывает за час каждая машинистка.
Решение:
Первая фраза условия задаёт лишь отношение скоростей \(6 : 5\), то есть одну и ту же работу первая машинистка выполняет в \(\frac{6}{5} = 1{,}2\) раза быстрее второй, а не в 1,5 раза; да и по одному отношению скоростей сами скорости не найти. Дальше решаем при прочтении «72 страницы первая машинистка перепечатывала на 1,5 ч быстрее, чем вторая».
Пусть скорости машинисток равны \(6k\) и \(5k\) страниц в час. Тогда 72 страницы первая перепечатывает за \(\frac{72}{6k}\) ч, вторая — за \(\frac{72}{5k}\) ч, и второе время на 1,5 ч больше:
\[\frac{72}{5k} - \frac{72}{6k} = 1{,}5.\]
Знаменатели не равны нулю при \(k \ne 0\). Умножим на \(30k\):
\[432 - 360 = 45k, \quad 45k = 72, \quad k = 1{,}6.\]
\(6 \cdot 1{,}6 = 9{,}6\) (страницы в час) — скорость первой машинистки.
\(5 \cdot 1{,}6 = 8\) (страниц в час) — скорость второй машинистки.
Проверка: \(72 : 9{,}6 = 7{,}5\) (ч) и \(72 : 8 = 9\) (ч) — время работы первой и второй машинисток; \(9 - 7{,}5 = 1{,}5\) (ч).
2)
Дано:
\(V = 54\) м\(^3\) — объём бассейна
\(t_1 = 3\) ч — время работы первой трубы
\(t_2 = 2\) ч — время работы второй трубы
1 м\(^3\) первая труба заполняет на 1 мин дольше второй
Найти: пропускную способность каждой трубы.
Решение:
Пусть \(x\) м\(^3\)/ч — пропускная способность первой трубы, \(y\) м\(^3\)/ч — второй. За 3 ч первая даёт \(3x\) м\(^3\), за 2 ч вторая — \(2y\) м\(^3\), вместе 54 м\(^3\):
\[3x + 2y = 54.\]
1 м\(^3\) первая труба заполняет за \(\frac{1}{x}\) ч, вторая — за \(\frac{1}{y}\) ч, и первой требуется на 1 мин, то есть на \(\frac{1}{60}\) ч, больше:
\[\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{60}.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\). Из первого уравнения \(y = \frac{54 - 3x}{2} = 27 - 1{,}5x\):
\[\frac{1}{x} - \frac{1}{27 - 1{,}5x} = \frac{1}{60}.\]
Умножим на \(60x(27 - 1{,}5x)\):
\[60(27 - 1{,}5x) - 60x = x(27 - 1{,}5x),\]
\[1{,}5x^2 - 177x + 1620 = 0,\]
\[x^2 - 118x + 1080 = 0,\]
\[D = 13\,924 - 4320 = 9604, \quad x = \frac{118 \pm 98}{2}, \quad x_1 = 108, \ x_2 = 10.\]
При \(x = 108\) получаем \(y = 27 - 162 = -135\), а пропускная способность отрицательной быть не может, поэтому этот корень не подходит по смыслу задачи. При \(x = 10\) получаем \(y = 27 - 15 = 12\).
\(3 \cdot 10 + 2 \cdot 12 = 54\) (м\(^3\)) — объём бассейна; \(60 : 10 = 6\) (мин) и \(60 : 12 = 5\) (мин) — время заполнения 1 м\(^3\) первой и второй трубой.
Ответ: 1) первая машинистка — 9,6 страницы в час, вторая — 8 страниц в час (при прочтении «на 1,5 ч быстрее»); 2) первая труба — 10 м\(^3\)/ч, вторая — 12 м\(^3\)/ч.
1) Первая машинистка перепечатывает 6 страниц за то же время, за которое вторая перепечатывает 5 страниц. Сколько страниц текста перепечатывает за час каждая машинистка, если 72 страницы текста первая машинистка перепечатывала в 1,5 раза быстрее, чем вторая? 2) Две трубы заполняли бассейн объёмом 54 м\(^3\), причём первая труба была открыта 3 ч, а вторая — 2 ч. Какова пропускная способность каждой трубы, если первая заполняет 1 м\(^3\) на 1 мин дольше, чем вторая?
1)
Дано:
за одно и то же время первая машинистка перепечатывает 6 страниц, вторая — 5 страниц
72 страницы первая машинистка перепечатывала быстрее второй
Найти: число страниц, которые перепечатывает за час каждая машинистка.
Решение:
Первая фраза условия задаёт только отношение скоростей: за одно и то же время первая машинистка перепечатывает 6 страниц, а вторая — 5, поэтому их скорости относятся как \(6 : 5\), и одну и ту же работу первая выполняет в \(\frac{6}{5} = 1{,}2\) раза быстрее второй — а не в 1,5 раза. К тому же одного отношения скоростей мало, чтобы найти сами скорости: нужно знать, на сколько времени работа над 72 страницами у первой машинистки короче. Дальше задача решается при прочтении «72 страницы текста первая машинистка перепечатывала на 1,5 ч быстрее, чем вторая».
Пусть скорости машинисток равны \(6k\) и \(5k\) страниц в час. Тогда 72 страницы первая машинистка перепечатывает за \(\frac{72}{6k}\) ч, а вторая — за \(\frac{72}{5k}\) ч, и второе время на 1,5 ч больше:
\[\frac{72}{5k} - \frac{72}{6k} = 1{,}5.\]
Знаменатели не равны нулю при \(k \ne 0\). Умножим обе части уравнения на \(30k\):
\[432 - 360 = 45k,\]
\[45k = 72, \quad k = 1{,}6.\]
Значит, первая машинистка перепечатывает \(6 \cdot 1{,}6 = 9{,}6\) страницы в час, вторая — \(5 \cdot 1{,}6 = 8\) страниц в час.
Проверка: \(72 : 9{,}6 = 7{,}5\) (ч) — время работы первой машинистки; \(72 : 8 = 9\) (ч) — время работы второй; \(9 - 7{,}5 = 1{,}5\) (ч).
2)
Дано:
\(V = 54\) м\(^3\) — объём бассейна
\(t_1 = 3\) ч — время работы первой трубы
\(t_2 = 2\) ч — время работы второй трубы
1 м\(^3\) первая труба заполняет на 1 мин дольше второй
Найти: пропускную способность каждой трубы.
Решение:
Пусть \(x\) м\(^3\)/ч — пропускная способность первой трубы, \(y\) м\(^3\)/ч — второй. За 3 ч первая труба даёт \(3x\) м\(^3\) воды, за 2 ч вторая — \(2y\) м\(^3\), а вместе они заполнили 54 м\(^3\):
\[3x + 2y = 54.\]
1 м\(^3\) первая труба заполняет за \(\frac{1}{x}\) ч, вторая — за \(\frac{1}{y}\) ч, и первой требуется на 1 мин, то есть на \(\frac{1}{60}\) ч, больше:
\[\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{60}.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\).
Из первого уравнения \(y = \frac{54 - 3x}{2} = 27 - 1{,}5x\). Подставим это выражение во второе уравнение:
\[\frac{1}{x} - \frac{1}{27 - 1{,}5x} = \frac{1}{60}.\]
Умножим обе части уравнения на \(60x(27 - 1{,}5x)\):
\[60(27 - 1{,}5x) - 60x = x(27 - 1{,}5x),\]
\[1620 - 150x = 27x - 1{,}5x^2,\]
\[1{,}5x^2 - 177x + 1620 = 0,\]
\[x^2 - 118x + 1080 = 0,\]
\[D = 13\,924 - 4320 = 9604,\]
\[x = \frac{118 \pm 98}{2}, \quad x_1 = 108, \ x_2 = 10.\]
При \(x = 108\) получаем \(y = 27 - 162 = -135\), а пропускная способность отрицательной быть не может, поэтому этот корень не подходит по смыслу задачи. При \(x = 10\) получаем \(y = 27 - 15 = 12\).
\(3 \cdot 10 + 2 \cdot 12 = 54\) (м\(^3\)) — объём бассейна; \(60 : 10 = 6\) (мин) и \(60 : 12 = 5\) (мин) — время заполнения 1 м\(^3\) первой и второй трубой.
Ответ: 1) первая машинистка — 9,6 страницы в час, вторая — 8 страниц в час (при прочтении «на 1,5 ч быстрее»); 2) первая труба — 10 м\(^3\)/ч, вторая — 12 м\(^3\)/ч.
