Страница 83 номер 3.4.41, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) Катер спустился вниз по течению реки на 18 км и вернулся обратно, затратив на весь путь 1 ч 45 мин. Найти скорость катера в стоячей воде, если известно, что 6 км по течению реки катер проплывает на 5 мин быстрее, чем против течения. 2) Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 80 км, отправился скорый поезд. Одновременно навстречу ему из пункта B в пункт A выехал товарный поезд, который встретился со скорым через 40 мин после отправления. С какой скоростью двигался скорый поезд, если 40 км он шёл на \(\frac{3}{8}\) ч дольше, чем товарный поезд шёл 5 км?
1)
Дано:
\(s = 18\) км — путь по течению и столько же против течения
1 ч 45 мин — время всего пути
6 км по течению катер проплывает на 5 мин быстрее, чем против течения
Найти: скорость катера в стоячей воде.
Решение:
1 ч 45 мин \(= 1{,}75\) ч; 5 мин \(= \frac{5}{60}\) ч \(= \frac{1}{12}\) ч.
Пусть \(x\) км/ч — скорость катера в стоячей воде, \(y\) км/ч — скорость течения; тогда по течению — \((x + y)\) км/ч, против течения — \((x - y)\) км/ч:
\[\begin{cases} \frac{18}{x + y} + \frac{18}{x - y} = 1{,}75, \\ \frac{6}{x - y} - \frac{6}{x + y} = \frac{1}{12}. \end{cases}\]
Знаменатели не равны нулю при \(x + y \ne 0\) и \(x - y \ne 0\). Пусть \(u = \frac{1}{x + y}\), \(v = \frac{1}{x - y}\); разделим первое уравнение на 18, второе на 6:
\[\begin{cases} u + v = \frac{7}{72}, \\ v - u = \frac{1}{72}. \end{cases}\]
Сложив уравнения почленно, получим \(2v = \frac{8}{72} = \frac{1}{9}\), \(v = \frac{1}{18}\); тогда \(u = \frac{7}{72} - \frac{4}{72} = \frac{1}{24}\).
Обратная замена: \(x + y = 24\), \(x - y = 18\), откуда \(2x = 42\), \(x = 21\), \(y = 3\). Скорость течения положительна, а скорость катера больше скорости течения — обе величины отвечают смыслу задачи.
\(18 : 24 = 0{,}75\) (ч) и \(18 : 18 = 1\) (ч) — время по течению и против течения, вместе 1 ч 45 мин.
2)
Дано:
\(s = 80\) км — расстояние от \(A\) до \(B\)
поезда выехали одновременно навстречу друг другу и встретились через 40 мин
40 км скорый поезд шёл на \(\frac{3}{8}\) ч дольше, чем товарный шёл 5 км
Найти: скорость скорого поезда.
Решение:
Пусть \(x\) км/ч — скорость скорого поезда, \(y\) км/ч — товарного. За 40 мин, то есть за \(\frac{2}{3}\) ч, поезда вместе прошли все 80 км: \(\frac{2}{3}(x + y) = 80\), откуда \(x + y = 120\).
40 км скорый поезд шёл \(\frac{40}{x}\) ч, 5 км товарный — \(\frac{5}{y}\) ч, и первое время на \(\frac{3}{8}\) ч больше:
\[\frac{40}{x} - \frac{5}{y} = \frac{3}{8}.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\). Подставим \(y = 120 - x\) и умножим на \(8x(120 - x)\):
\[320(120 - x) - 40x = 3x(120 - x),\]
\[x^2 - 240x + 12\,800 = 0,\]
\[D = 57\,600 - 51\,200 = 6400, \quad x = \frac{240 \pm 80}{2}, \quad x_1 = 160, \ x_2 = 80.\]
При \(x = 160\) получаем \(y = 120 - 160 = -40\), а скорость товарного поезда положительна, поэтому этот корень не подходит по смыслу задачи. При \(x = 80\) получаем \(y = 40\).
\(40 : 80 = 0{,}5\) (ч) и \(5 : 40 = 0{,}125\) (ч) — время скорого поезда на 40 км и товарного на 5 км, разность равна \(0{,}375\) ч, то есть \(\frac{3}{8}\) ч.
Ответ: 1) 21 км/ч; 2) 80 км/ч.
1) Катер спустился вниз по течению реки на 18 км и вернулся обратно, затратив на весь путь 1 ч 45 мин. Найти скорость катера в стоячей воде, если известно, что 6 км по течению реки катер проплывает на 5 мин быстрее, чем против течения. 2) Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 80 км, отправился скорый поезд. Одновременно навстречу ему из пункта B в пункт A выехал товарный поезд, который встретился со скорым через 40 мин после отправления. С какой скоростью двигался скорый поезд, если 40 км он шёл на \(\frac{3}{8}\) ч дольше, чем товарный поезд шёл 5 км?
1)
Дано:
\(s = 18\) км — путь по течению и столько же против течения
1 ч 45 мин — время всего пути
6 км по течению катер проплывает на 5 мин быстрее, чем против течения
Найти: скорость катера в стоячей воде.
Решение:
1 ч 45 мин \(= 1{,}75\) ч; 5 мин \(= \frac{5}{60}\) ч \(= \frac{1}{12}\) ч.
Пусть \(x\) км/ч — скорость катера в стоячей воде, \(y\) км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость катера по течению равна \((x + y)\) км/ч, против течения — \((x - y)\) км/ч. Получаем систему
\[\begin{cases} \frac{18}{x + y} + \frac{18}{x - y} = 1{,}75, \\ \frac{6}{x - y} - \frac{6}{x + y} = \frac{1}{12}. \end{cases}\]
Знаменатели не равны нулю при \(x + y \ne 0\) и \(x - y \ne 0\).
Введём новые переменные \(u = \frac{1}{x + y}\), \(v = \frac{1}{x - y}\) и разделим первое уравнение на 18, а второе на 6:
\[\begin{cases} u + v = \frac{7}{72}, \\ v - u = \frac{1}{72}. \end{cases}\]
Сложив уравнения почленно, получим \(2v = \frac{8}{72} = \frac{1}{9}\), \(v = \frac{1}{18}\); тогда \(u = \frac{7}{72} - \frac{4}{72} = \frac{1}{24}\).
Обратная замена: \(x + y = 24\), \(x - y = 18\). Сложив эти уравнения, получим \(2x = 42\), \(x = 21\), \(y = 3\).
Скорость течения положительна, а скорость катера в стоячей воде больше скорости течения — обе величины отвечают смыслу задачи.
\(18 : 24 = 0{,}75\) (ч) и \(18 : 18 = 1\) (ч) — время пути по течению и против течения, вместе 1 ч 45 мин.
2)
Дано:
\(s = 80\) км — расстояние от \(A\) до \(B\)
поезда выехали одновременно навстречу друг другу и встретились через 40 мин
40 км скорый поезд шёл на \(\frac{3}{8}\) ч дольше, чем товарный шёл 5 км
Найти: скорость скорого поезда.
Решение:
Пусть \(x\) км/ч — скорость скорого поезда, \(y\) км/ч — скорость товарного. За 40 мин, то есть за \(\frac{2}{3}\) ч, поезда вместе прошли все 80 км:
\[\frac{2}{3}(x + y) = 80, \quad \text{откуда} \quad x + y = 120.\]
40 км скорый поезд шёл \(\frac{40}{x}\) ч, а 5 км товарный поезд шёл \(\frac{5}{y}\) ч, причём первое время на \(\frac{3}{8}\) ч больше:
\[\frac{40}{x} - \frac{5}{y} = \frac{3}{8}.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\). Подставим \(y = 120 - x\):
\[\frac{40}{x} - \frac{5}{120 - x} = \frac{3}{8}.\]
Умножим обе части уравнения на \(8x(120 - x)\):
\[320(120 - x) - 40x = 3x(120 - x),\]
\[38\,400 - 360x = 360x - 3x^2,\]
\[3x^2 - 720x + 38\,400 = 0,\]
\[x^2 - 240x + 12\,800 = 0,\]
\[D = 57\,600 - 51\,200 = 6400,\]
\[x = \frac{240 \pm 80}{2}, \quad x_1 = 160, \ x_2 = 80.\]
При \(x = 160\) получаем \(y = 120 - 160 = -40\), а скорость товарного поезда положительна, поэтому этот корень не подходит по смыслу задачи. При \(x = 80\) получаем \(y = 40\).
\(40 : 80 = 0{,}5\) (ч) — время скорого поезда на 40 км; \(5 : 40 = 0{,}125\) (ч) — время товарного на 5 км; разность равна \(0{,}375\) ч, то есть \(\frac{3}{8}\) ч.
Ответ: 1) 21 км/ч; 2) 80 км/ч.
