Страницы 82-83 номер 3.4.40, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) К раствору, содержащему 39 г соли, добавили 1000 г воды, после чего концентрация соли уменьшилась на 10 %. Найти первоначальную процентную концентрацию соли в растворе. 2) К раствору, содержащему 16 г сахара, добавили 300 г воды. После этого концентрация сахара уменьшилась на 4,8 %. Какова была первоначальная концентрация сахара в растворе?
1)
Дано:
39 г — масса соли в растворе
1000 г — масса добавленной воды
концентрация соли уменьшилась на 10 %
Найти: первоначальную процентную концентрацию соли в растворе.
Решение:
Пусть \(x\) г — первоначальная масса раствора. Соль составляла в нём \(\frac{39}{x} \cdot 100\ \%\), а при массе \((x + 1000)\) г — \(\frac{39}{x + 1000} \cdot 100\ \%\), что на 10 % меньше:
\[\frac{3900}{x} - \frac{3900}{x + 1000} = 10.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne -1000\). Умножим на \(x(x + 1000)\):
\[3900(x + 1000) - 3900x = 10x(x + 1000),\]
\[x^2 + 1000x - 390\,000 = 0,\]
\[D = 1\,000\,000 + 1\,560\,000 = 2\,560\,000, \quad x = \frac{-1000 \pm 1600}{2}, \quad x_1 = 300, \ x_2 = -1300.\]
Масса раствора положительна, поэтому корень \(-1300\) не подходит по смыслу задачи.
\(\frac{39}{300} \cdot 100\ \% = 13\ \%\) — первоначальная концентрация соли.
\(\frac{39}{1300} \cdot 100\ \% = 3\ \%\) — концентрация после добавления воды, что на 10 % меньше.
2)
Дано:
16 г — масса сахара в растворе
300 г — масса добавленной воды
концентрация сахара уменьшилась на 4,8 %
Найти: первоначальную процентную концентрацию сахара в растворе.
Решение:
Пусть \(x\) г — первоначальная масса раствора. Сахар составлял в нём \(\frac{16}{x} \cdot 100\ \%\), а при массе \((x + 300)\) г — \(\frac{16}{x + 300} \cdot 100\ \%\), что на 4,8 % меньше:
\[\frac{1600}{x} - \frac{1600}{x + 300} = 4{,}8.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne -300\). Умножим на \(x(x + 300)\):
\[1600(x + 300) - 1600x = 4{,}8x(x + 300),\]
\[x^2 + 300x - 100\,000 = 0,\]
\[D = 90\,000 + 400\,000 = 490\,000, \quad x = \frac{-300 \pm 700}{2}, \quad x_1 = 200, \ x_2 = -500.\]
Масса раствора положительна, поэтому корень \(-500\) не подходит по смыслу задачи.
\(\frac{16}{200} \cdot 100\ \% = 8\ \%\) — первоначальная концентрация сахара.
\(\frac{16}{500} \cdot 100\ \% = 3{,}2\ \%\) — концентрация после добавления воды, что на 4,8 % меньше.
Ответ: 1) 13 %; 2) 8 %.
1) К раствору, содержащему 39 г соли, добавили 1000 г воды, после чего концентрация соли уменьшилась на 10 %. Найти первоначальную процентную концентрацию соли в растворе. 2) К раствору, содержащему 16 г сахара, добавили 300 г воды. После этого концентрация сахара уменьшилась на 4,8 %. Какова была первоначальная концентрация сахара в растворе?
1)
Дано:
39 г — масса соли в растворе
1000 г — масса добавленной воды
концентрация соли уменьшилась на 10 %
Найти: первоначальную процентную концентрацию соли в растворе.
Решение:
Пусть \(x\) г — первоначальная масса раствора. Соль составляла в нём \(\frac{39}{x} \cdot 100\ \%\). После добавления воды масса раствора стала \((x + 1000)\) г, а соль составила \(\frac{39}{x + 1000} \cdot 100\ \%\). Концентрация уменьшилась на 10 %, поэтому
\[\frac{3900}{x} - \frac{3900}{x + 1000} = 10.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne -1000\). Умножим обе части уравнения на \(x(x + 1000)\):
\[3900(x + 1000) - 3900x = 10x(x + 1000),\]
\[3\,900\,000 = 10x^2 + 10\,000x,\]
\[x^2 + 1000x - 390\,000 = 0,\]
\[D = 1\,000\,000 + 1\,560\,000 = 2\,560\,000,\]
\[x = \frac{-1000 \pm 1600}{2}, \quad x_1 = 300, \ x_2 = -1300.\]
Масса раствора положительна, поэтому корень \(-1300\) не подходит по смыслу задачи. Первоначальная масса раствора равна 300 г, и соль составляла в нём \(\frac{39}{300} \cdot 100\ \% = 13\ \%\).
После добавления воды концентрация стала \(\frac{39}{1300} \cdot 100\ \% = 3\ \%\), что на 10 % меньше.
2)
Дано:
16 г — масса сахара в растворе
300 г — масса добавленной воды
концентрация сахара уменьшилась на 4,8 %
Найти: первоначальную процентную концентрацию сахара в растворе.
Решение:
Пусть \(x\) г — первоначальная масса раствора. Сахар составлял в нём \(\frac{16}{x} \cdot 100\ \%\), а после добавления воды — \(\frac{16}{x + 300} \cdot 100\ \%\). Концентрация уменьшилась на 4,8 %, поэтому
\[\frac{1600}{x} - \frac{1600}{x + 300} = 4{,}8.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne -300\). Умножим обе части уравнения на \(x(x + 300)\):
\[1600(x + 300) - 1600x = 4{,}8x(x + 300),\]
\[480\,000 = 4{,}8x^2 + 1440x,\]
\[x^2 + 300x - 100\,000 = 0,\]
\[D = 90\,000 + 400\,000 = 490\,000,\]
\[x = \frac{-300 \pm 700}{2}, \quad x_1 = 200, \ x_2 = -500.\]
Масса раствора положительна, поэтому корень \(-500\) не подходит по смыслу задачи. Первоначальная масса раствора равна 200 г, и сахар составлял в нём \(\frac{16}{200} \cdot 100\ \% = 8\ \%\).
После добавления воды концентрация стала \(\frac{16}{500} \cdot 100\ \% = 3{,}2\ \%\), что на 4,8 % меньше.
Ответ: 1) 13 %; 2) 8 %.
