Страница 77 номер 3.4.3, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить уравнение (3.4.1—3.4.6): 1) \(\frac{x^2 - 2x - 24}{x + 4} = 0\); 2) \(\frac{x^2 - 7x + 10}{x - 5} = 0\); 3) \(\frac{x^2 - 3x - 28}{x^2 - 16} = 0\); 4) \(\frac{y^2 + 5y - 24}{64 - y^2} = 0\); 5) \(\frac{2x^2 + 5x - 3}{y^2 - 25} = 0\); 6) \(\frac{2x^2 - 3x - 5}{4x^2 - 9} = 0\).
1) Знаменатель не равен нулю при \(x \ne -4\). Умножим на \(x + 4\): \(x^2 - 2x - 24 = 0\), \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100\), \(x_1 = \frac{2 - 10}{2} = -4\), \(x_2 = \frac{2 + 10}{2} = 6\).
При \(x = -4\) знаменатель обращается в нуль, значит, корень один: 6.
2) Знаменатель не равен нулю при \(x \ne 5\). Умножим на \(x - 5\): \(x^2 - 7x + 10 = 0\), \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 9\), \(x_1 = \frac{7 - 3}{2} = 2\), \(x_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5\).
При \(x = 5\) знаменатель обращается в нуль, значит, корень один: 2.
3) \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\), знаменатель не равен нулю при \(x \ne 4\) и \(x \ne -4\). Умножим на \(x^2 - 16\): \(x^2 - 3x - 28 = 0\), \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 121\), \(x_1 = \frac{3 - 11}{2} = -4\), \(x_2 = \frac{3 + 11}{2} = 7\).
При \(x = -4\) знаменатель обращается в нуль, значит, корень один: 7.
4) \(64 - y^2 = (8 - y)(8 + y)\), знаменатель не равен нулю при \(y \ne 8\) и \(y \ne -8\). Умножим на \(64 - y^2\): \(y^2 + 5y - 24 = 0\), \(D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 121\), \(y_1 = \frac{-5 - 11}{2} = -8\), \(y_2 = \frac{-5 + 11}{2} = 3\).
При \(y = -8\) знаменатель обращается в нуль, значит, корень один: 3.
5) В сборнике в знаменателе набрано \(y^2 - 25\), тогда как все пункты номера — уравнения с одной переменной; решаем при \(x^2 - 25\).
\(x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)\), знаменатель не равен нулю при \(x \ne 5\) и \(x \ne -5\). Умножим на \(x^2 - 25\): \(2x^2 + 5x - 3 = 0\), \(D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 49\), \(x_1 = \frac{-5 - 7}{4} = -3\), \(x_2 = \frac{-5 + 7}{4} = 0{,}5\).
Знаменатель ни при одном из них в нуль не обращается, значит, оба — корни.
6) \(4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3)\), знаменатель не равен нулю при \(x \ne 1{,}5\) и \(x \ne -1{,}5\). Умножим на \(4x^2 - 9\): \(2x^2 - 3x - 5 = 0\), \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 49\), \(x_1 = \frac{3 - 7}{4} = -1\), \(x_2 = \frac{3 + 7}{4} = 2{,}5\).
Знаменатель ни при одном из них в нуль не обращается, значит, оба — корни.
Ответ: 1) 6; 2) 2; 3) 7; 4) 3; 5) \(-3\) и \(0{,}5\); 6) \(-1\) и \(2{,}5\).
Решить уравнение (3.4.1—3.4.6): 1) \(\frac{x^2 - 2x - 24}{x + 4} = 0\); 2) \(\frac{x^2 - 7x + 10}{x - 5} = 0\); 3) \(\frac{x^2 - 3x - 28}{x^2 - 16} = 0\); 4) \(\frac{y^2 + 5y - 24}{64 - y^2} = 0\); 5) \(\frac{2x^2 + 5x - 3}{y^2 - 25} = 0\); 6) \(\frac{2x^2 - 3x - 5}{4x^2 - 9} = 0\).
1) Знаменатель не равен нулю при \(x \ne -4\). Умножим обе части уравнения на \(x + 4\): \[x^2 - 2x - 24 = 0.\] \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100.\] \[x_1 = \frac{2 - 10}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{2 + 10}{2} = 6.\]
Если \(x = -4\), то \(x + 4 = 0\); если \(x = 6\), то \(x + 4 \ne 0\). Значит, корнем уравнения является только число 6.
2) Знаменатель не равен нулю при \(x \ne 5\). Умножим обе части уравнения на \(x - 5\): \[x^2 - 7x + 10 = 0.\] \[D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9.\] \[x_1 = \frac{7 - 3}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5.\]
Если \(x = 5\), то \(x - 5 = 0\); если \(x = 2\), то \(x - 5 \ne 0\). Значит, корнем уравнения является только число 2.
3) По формуле разности квадратов \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\), поэтому знаменатель не равен нулю при \(x \ne 4\) и \(x \ne -4\). Умножим обе части уравнения на \(x^2 - 16\): \[x^2 - 3x - 28 = 0.\] \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121.\] \[x_1 = \frac{3 - 11}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{3 + 11}{2} = 7.\]
Если \(x = -4\), то \(x^2 - 16 = 0\); если \(x = 7\), то \(x^2 - 16 \ne 0\). Значит, корнем уравнения является только число 7.
4) По формуле разности квадратов \(64 - y^2 = (8 - y)(8 + y)\), поэтому знаменатель не равен нулю при \(y \ne 8\) и \(y \ne -8\). Умножим обе части уравнения на \(64 - y^2\): \[y^2 + 5y - 24 = 0.\] \[D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121.\] \[y_1 = \frac{-5 - 11}{2} = -8, \quad y_2 = \frac{-5 + 11}{2} = 3.\]
Если \(y = -8\), то \(64 - y^2 = 0\); если \(y = 3\), то \(64 - y^2 \ne 0\). Значит, корнем уравнения является только число 3.
5) В сборнике в знаменателе набрано \(y^2 - 25\), тогда как все пункты номера — уравнения с одной переменной; решаем уравнение со знаменателем \(x^2 - 25\).
По формуле разности квадратов \(x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)\), поэтому знаменатель не равен нулю при \(x \ne 5\) и \(x \ne -5\). Умножим обе части уравнения на \(x^2 - 25\): \[2x^2 + 5x - 3 = 0.\] \[D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49.\] \[x_1 = \frac{-5 - 7}{4} = -3, \quad x_2 = \frac{-5 + 7}{4} = 0{,}5.\]
Ни при \(x = -3\), ни при \(x = 0{,}5\) знаменатель в нуль не обращается, значит, оба числа — корни уравнения.
6) По формуле разности квадратов \(4x^2 - 9 = (2x - 3)(2x + 3)\), поэтому знаменатель не равен нулю при \(x \ne 1{,}5\) и \(x \ne -1{,}5\). Умножим обе части уравнения на \(4x^2 - 9\): \[2x^2 - 3x - 5 = 0.\] \[D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49.\] \[x_1 = \frac{3 - 7}{4} = -1, \quad x_2 = \frac{3 + 7}{4} = 2{,}5.\]
Ни при \(x = -1\), ни при \(x = 2{,}5\) знаменатель в нуль не обращается, значит, оба числа — корни уравнения.
Ответ: 1) 6; 2) 2; 3) 7; 4) 3; 5) \(-3\) и \(0{,}5\); 6) \(-1\) и \(2{,}5\).
