Страница 82 номер 3.4.38, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 100 км, выехали одновременно мотоциклист и велосипедист. Скорость мотоциклиста на 30 км/ч больше скорости велосипедиста, поэтому он прибыл в пункт B на 3 ч раньше. Найти скорость каждого. 2) От пункта A до пункта B 40 км. Из этих пунктов одновременно навстречу друг другу выезжают два велосипедиста, причём скорость одного из них на 2 км/ч больше скорости другого. Какова скорость каждого велосипедиста, если один из них прибыл в пункт B на час раньше, чем другой прибыл в пункт A?
1)
Дано:
\(s = 100\) км — расстояние от \(A\) до \(B\)
скорость мотоциклиста на 30 км/ч больше скорости велосипедиста
мотоциклист прибыл на 3 ч раньше
Найти: скорость мотоциклиста и скорость велосипедиста.
Решение:
Пусть \(x\) км/ч — скорость велосипедиста, тогда мотоциклиста — \((x + 30)\) км/ч. Время в пути \(\frac{100}{x}\) ч и \(\frac{100}{x + 30}\) ч, у мотоциклиста на 3 ч меньше:
\[\frac{100}{x} - \frac{100}{x + 30} = 3.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne -30\). Умножим на \(x(x + 30)\):
\[100(x + 30) - 100x = 3x(x + 30),\]
\[x^2 + 30x - 1000 = 0,\]
\[D = 900 + 4000 = 4900, \quad x = \frac{-30 \pm 70}{2}, \quad x_1 = 20, \ x_2 = -50.\]
Скорость велосипедиста положительна, поэтому корень \(-50\) не подходит по смыслу задачи.
\(20 + 30 = 50\) (км/ч) — скорость мотоциклиста.
2)
Дано:
\(s = 40\) км — расстояние от \(A\) до \(B\)
велосипедисты выехали одновременно навстречу друг другу
скорость одного на 2 км/ч больше скорости другого
один прибыл в \(B\) на час раньше, чем другой прибыл в \(A\)
Найти: скорость каждого велосипедиста.
Решение:
Каждый велосипедист проезжает все 40 км: первый — от \(A\) до \(B\), второй — от \(B\) до \(A\).
Пусть \(x\) км/ч — меньшая из скоростей, тогда вторая — \((x + 2)\) км/ч. Время в пути \(\frac{40}{x}\) ч и \(\frac{40}{x + 2}\) ч, у более быстрого на час меньше:
\[\frac{40}{x} - \frac{40}{x + 2} = 1.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne -2\). Умножим на \(x(x + 2)\):
\[40(x + 2) - 40x = x(x + 2),\]
\[x^2 + 2x - 80 = 0,\]
\[D = 4 + 320 = 324, \quad x = \frac{-2 \pm 18}{2}, \quad x_1 = 8, \ x_2 = -10.\]
Скорость велосипедиста положительна, поэтому корень \(-10\) не подходит по смыслу задачи.
\(8 + 2 = 10\) (км/ч) — скорость второго велосипедиста.
Ответ: 1) 20 км/ч — скорость велосипедиста, 50 км/ч — скорость мотоциклиста; 2) 8 км/ч и 10 км/ч.
1) Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 100 км, выехали одновременно мотоциклист и велосипедист. Скорость мотоциклиста на 30 км/ч больше скорости велосипедиста, поэтому он прибыл в пункт B на 3 ч раньше. Найти скорость каждого. 2) От пункта A до пункта B 40 км. Из этих пунктов одновременно навстречу друг другу выезжают два велосипедиста, причём скорость одного из них на 2 км/ч больше скорости другого. Какова скорость каждого велосипедиста, если один из них прибыл в пункт B на час раньше, чем другой прибыл в пункт A?
1)
Дано:
\(s = 100\) км — расстояние от \(A\) до \(B\)
скорость мотоциклиста на 30 км/ч больше скорости велосипедиста
мотоциклист прибыл на 3 ч раньше
Найти: скорость мотоциклиста и скорость велосипедиста.
Решение:
Пусть \(x\) км/ч — скорость велосипедиста. Тогда скорость мотоциклиста равна \((x + 30)\) км/ч. Велосипедист был в пути \(\frac{100}{x}\) ч, мотоциклист — \(\frac{100}{x + 30}\) ч, и это на 3 ч меньше:
\[\frac{100}{x} - \frac{100}{x + 30} = 3.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne -30\). Умножим обе части уравнения на \(x(x + 30)\):
\[100(x + 30) - 100x = 3x(x + 30),\]
\[3000 = 3x^2 + 90x,\]
\[x^2 + 30x - 1000 = 0,\]
\[D = 900 + 4000 = 4900,\]
\[x = \frac{-30 \pm 70}{2}, \quad x_1 = 20, \ x_2 = -50.\]
Скорость велосипедиста положительна, поэтому корень \(-50\) не подходит по смыслу задачи.
\(20 + 30 = 50\) (км/ч) — скорость мотоциклиста.
2)
Дано:
\(s = 40\) км — расстояние от \(A\) до \(B\)
велосипедисты выехали одновременно навстречу друг другу
скорость одного на 2 км/ч больше скорости другого
один прибыл в \(B\) на час раньше, чем другой прибыл в \(A\)
Найти: скорость каждого велосипедиста.
Решение:
Каждый велосипедист проезжает все 40 км: первый — от \(A\) до \(B\), второй — от \(B\) до \(A\).
Пусть \(x\) км/ч — меньшая из скоростей. Тогда вторая скорость равна \((x + 2)\) км/ч. Более медленный велосипедист был в пути \(\frac{40}{x}\) ч, более быстрый — \(\frac{40}{x + 2}\) ч, и это на час меньше:
\[\frac{40}{x} - \frac{40}{x + 2} = 1.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne -2\). Умножим обе части уравнения на \(x(x + 2)\):
\[40(x + 2) - 40x = x(x + 2),\]
\[80 = x^2 + 2x,\]
\[x^2 + 2x - 80 = 0,\]
\[D = 4 + 320 = 324,\]
\[x = \frac{-2 \pm 18}{2}, \quad x_1 = 8, \ x_2 = -10.\]
Скорость велосипедиста положительна, поэтому корень \(-10\) не подходит по смыслу задачи.
\(8 + 2 = 10\) (км/ч) — скорость второго велосипедиста.
Ответ: 1) 20 км/ч — скорость велосипедиста, 50 км/ч — скорость мотоциклиста; 2) 8 км/ч и 10 км/ч.
