Страница 82 номер 3.4.37, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) Мотоциклист задержался у железнодорожного переезда на 24 мин. Увеличив после этого скорость на 10 км/ч, он наверстал опоздание за 80 км. Определить первоначальную скорость мотоциклиста. 2) Мотоциклист из-за поломки задержался в пути на 36 мин. После ремонта он увеличил скорость на 5 км/ч и наверстал опоздание на участке пути в 60 км. Определить первоначальную скорость мотоциклиста.
1)
Дано:
\(t = 24\) мин — время задержки
скорость увеличена на 10 км/ч
\(s = 80\) км — участок, на котором наверстано опоздание
Найти: первоначальную скорость мотоциклиста.
Решение:
24 мин \(= \frac{24}{60}\) ч \(= 0{,}4\) ч.
Пусть \(x\) км/ч — первоначальная скорость. С прежней скоростью 80 км заняли бы \(\frac{80}{x}\) ч, с новой скоростью \((x + 10)\) км/ч заняли \(\frac{80}{x + 10}\) ч, выигрыш \(0{,}4\) ч:
\[\frac{80}{x} - \frac{80}{x + 10} = 0{,}4.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne -10\). Умножим на \(5x(x + 10)\):
\[400(x + 10) - 400x = 2x(x + 10),\]
\[x^2 + 10x - 2000 = 0,\]
\[D = 100 + 8000 = 8100, \quad x = \frac{-10 \pm 90}{2}, \quad x_1 = 40, \ x_2 = -50.\]
Скорость мотоциклиста положительна, поэтому корень \(-50\) не подходит по смыслу задачи.
Увеличенная скорость равна \(40 + 10 = 50\) (км/ч), поэтому \(80 : 40 = 2\) (ч) и \(80 : 50 = 1{,}6\) (ч) — время на 80 км с первоначальной и с увеличенной скоростью, разность равна \(0{,}4\) ч, то есть 24 мин.
2)
Дано:
\(t = 36\) мин — время задержки
скорость увеличена на 5 км/ч
\(s = 60\) км — участок, на котором наверстано опоздание
Найти: первоначальную скорость мотоциклиста.
Решение:
36 мин \(= \frac{36}{60}\) ч \(= 0{,}6\) ч.
Пусть \(x\) км/ч — первоначальная скорость. С прежней скоростью 60 км заняли бы \(\frac{60}{x}\) ч, с новой скоростью \((x + 5)\) км/ч заняли \(\frac{60}{x + 5}\) ч, выигрыш \(0{,}6\) ч:
\[\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 5} = 0{,}6.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne -5\). Умножим на \(5x(x + 5)\):
\[300(x + 5) - 300x = 3x(x + 5),\]
\[x^2 + 5x - 500 = 0,\]
\[D = 25 + 2000 = 2025, \quad x = \frac{-5 \pm 45}{2}, \quad x_1 = 20, \ x_2 = -25.\]
Скорость мотоциклиста положительна, поэтому корень \(-25\) не подходит по смыслу задачи.
Увеличенная скорость равна \(20 + 5 = 25\) (км/ч), поэтому \(60 : 20 = 3\) (ч) и \(60 : 25 = 2{,}4\) (ч) — время на 60 км с первоначальной и с увеличенной скоростью, разность равна \(0{,}6\) ч, то есть 36 мин.
Ответ: 1) 40 км/ч; 2) 20 км/ч.
1) Мотоциклист задержался у железнодорожного переезда на 24 мин. Увеличив после этого скорость на 10 км/ч, он наверстал опоздание за 80 км. Определить первоначальную скорость мотоциклиста. 2) Мотоциклист из-за поломки задержался в пути на 36 мин. После ремонта он увеличил скорость на 5 км/ч и наверстал опоздание на участке пути в 60 км. Определить первоначальную скорость мотоциклиста.
1)
Дано:
\(t = 24\) мин — время задержки
скорость увеличена на 10 км/ч
\(s = 80\) км — участок, на котором наверстано опоздание
Найти: первоначальную скорость мотоциклиста.
Решение:
24 мин \(= \frac{24}{60}\) ч \(= 0{,}4\) ч.
Пусть \(x\) км/ч — первоначальная скорость мотоциклиста. С прежней скоростью он прошёл бы 80 км за \(\frac{80}{x}\) ч, а с новой скоростью \((x + 10)\) км/ч прошёл их за \(\frac{80}{x + 10}\) ч. Наверстать опоздание — значит выиграть на этом участке \(0{,}4\) ч:
\[\frac{80}{x} - \frac{80}{x + 10} = 0{,}4.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne -10\). Умножим обе части уравнения на \(5x(x + 10)\):
\[400(x + 10) - 400x = 2x(x + 10),\]
\[4000 = 2x^2 + 20x,\]
\[x^2 + 10x - 2000 = 0,\]
\[D = 100 + 8000 = 8100,\]
\[x = \frac{-10 \pm 90}{2}, \quad x_1 = 40, \ x_2 = -50.\]
Скорость мотоциклиста положительна, поэтому корень \(-50\) не подходит по смыслу задачи.
\(80 : 40 = 2\) (ч) — время на 80 км с первоначальной скоростью; увеличенная скорость равна \(40 + 10 = 50\) (км/ч), поэтому \(80 : 50 = 1{,}6\) (ч) — время с ней; разность равна \(0{,}4\) ч, то есть 24 мин.
2)
Дано:
\(t = 36\) мин — время задержки
скорость увеличена на 5 км/ч
\(s = 60\) км — участок, на котором наверстано опоздание
Найти: первоначальную скорость мотоциклиста.
Решение:
36 мин \(= \frac{36}{60}\) ч \(= 0{,}6\) ч.
Пусть \(x\) км/ч — первоначальная скорость мотоциклиста. С прежней скоростью 60 км заняли бы \(\frac{60}{x}\) ч, с новой скоростью \((x + 5)\) км/ч они заняли \(\frac{60}{x + 5}\) ч, и выигрыш составил \(0{,}6\) ч:
\[\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 5} = 0{,}6.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne -5\). Умножим обе части уравнения на \(5x(x + 5)\):
\[300(x + 5) - 300x = 3x(x + 5),\]
\[1500 = 3x^2 + 15x,\]
\[x^2 + 5x - 500 = 0,\]
\[D = 25 + 2000 = 2025,\]
\[x = \frac{-5 \pm 45}{2}, \quad x_1 = 20, \ x_2 = -25.\]
Скорость мотоциклиста положительна, поэтому корень \(-25\) не подходит по смыслу задачи.
\(60 : 20 = 3\) (ч) — время на 60 км с первоначальной скоростью; увеличенная скорость равна \(20 + 5 = 25\) (км/ч), поэтому \(60 : 25 = 2{,}4\) (ч) — время с ней; разность равна \(0{,}6\) ч, то есть 36 мин.
Ответ: 1) 40 км/ч; 2) 20 км/ч.
