Страница 82 номер 3.4.36, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) Два маляра, работая вместе, могут выполнить определённый объём работы за 4 ч 48 мин. Какое время потребуется каждому маляру в отдельности на выполнение этой работы, если один из них может выполнить работу на 4 ч быстрее другого? 2) Две машинистки, работая одновременно, могут перепечатать рукопись за 14,4 ч. За какое время могла бы перепечатать эту рукопись каждая машинистка в отдельности, если одной из них потребовалось бы для этого на 12 ч больше, чем другой?
1)
Дано:
4 ч 48 мин — время совместной работы двух маляров
один маляр выполняет работу на 4 ч быстрее другого
Найти: время выполнения работы каждым маляром в отдельности.
Решение:
4 ч 48 мин \(= 4\frac{48}{60}\) ч \(= 4{,}8\) ч.
Пусть \(x\) ч — время более быстрого маляра, тогда второму нужно \((x + 4)\) ч. За час они выполняют \(\frac{1}{x}\) и \(\frac{1}{x + 4}\) всей работы, а вместе \(\frac{1}{4{,}8} = \frac{5}{24}\):
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 4} = \frac{5}{24}.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne -4\). Умножим на \(24x(x + 4)\):
\[24(x + 4) + 24x = 5x(x + 4),\]
\[5x^2 - 28x - 96 = 0,\]
\[D = 784 + 1920 = 2704, \quad x = \frac{28 \pm 52}{10}, \quad x_1 = 8, \ x_2 = -2{,}4.\]
Время работы положительно, поэтому корень \(-2{,}4\) не подходит по смыслу задачи.
\(8 + 4 = 12\) (ч) — время работы второго маляра.
2)
Дано:
\(14{,}4\) ч — время совместной работы двух машинисток
одной машинистке нужно на 12 ч больше, чем другой
Найти: время перепечатывания рукописи каждой машинисткой в отдельности.
Решение:
Пусть \(x\) ч — время более быстрой машинистки, тогда второй нужно \((x + 12)\) ч. За час они выполняют \(\frac{1}{x}\) и \(\frac{1}{x + 12}\) всей работы, а вместе \(\frac{1}{14{,}4} = \frac{5}{72}\):
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 12} = \frac{5}{72}.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne -12\). Умножим на \(72x(x + 12)\):
\[72(x + 12) + 72x = 5x(x + 12),\]
\[5x^2 - 84x - 864 = 0,\]
\[D = 7056 + 17\,280 = 24\,336, \quad x = \frac{84 \pm 156}{10}, \quad x_1 = 24, \ x_2 = -7{,}2.\]
Время работы положительно, поэтому корень \(-7{,}2\) не подходит по смыслу задачи.
\(24 + 12 = 36\) (ч) — время работы второй машинистки.
Ответ: 1) 8 ч и 12 ч; 2) 24 ч и 36 ч.
1) Два маляра, работая вместе, могут выполнить определённый объём работы за 4 ч 48 мин. Какое время потребуется каждому маляру в отдельности на выполнение этой работы, если один из них может выполнить работу на 4 ч быстрее другого? 2) Две машинистки, работая одновременно, могут перепечатать рукопись за 14,4 ч. За какое время могла бы перепечатать эту рукопись каждая машинистка в отдельности, если одной из них потребовалось бы для этого на 12 ч больше, чем другой?
1)
Дано:
4 ч 48 мин — время совместной работы двух маляров
один маляр выполняет работу на 4 ч быстрее другого
Найти: время выполнения работы каждым маляром в отдельности.
Решение:
4 ч 48 мин \(= 4\frac{48}{60}\) ч \(= 4{,}8\) ч.
Пусть \(x\) ч — время, за которое выполняет всю работу более быстрый маляр. Тогда второму на ту же работу нужно \((x + 4)\) ч. За час первый маляр выполняет \(\frac{1}{x}\) всей работы, второй — \(\frac{1}{x + 4}\), а вместе они выполняют за час \(\frac{1}{4{,}8} = \frac{5}{24}\) всей работы:
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 4} = \frac{5}{24}.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne -4\). Умножим обе части уравнения на \(24x(x + 4)\):
\[24(x + 4) + 24x = 5x(x + 4),\]
\[48x + 96 = 5x^2 + 20x,\]
\[5x^2 - 28x - 96 = 0,\]
\[D = 784 + 1920 = 2704,\]
\[x = \frac{28 \pm 52}{10}, \quad x_1 = 8, \ x_2 = -2{,}4.\]
Время работы положительно, поэтому корень \(-2{,}4\) не подходит по смыслу задачи.
\(8 + 4 = 12\) (ч) — время работы второго маляра.
2)
Дано:
\(14{,}4\) ч — время совместной работы двух машинисток
одной машинистке нужно на 12 ч больше, чем другой
Найти: время перепечатывания рукописи каждой машинисткой в отдельности.
Решение:
Пусть \(x\) ч — время, за которое перепечатывает рукопись более быстрая машинистка. Тогда второй нужно \((x + 12)\) ч. За час первая машинистка выполняет \(\frac{1}{x}\) всей работы, вторая — \(\frac{1}{x + 12}\), а вместе \(\frac{1}{14{,}4} = \frac{5}{72}\) всей работы:
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 12} = \frac{5}{72}.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne -12\). Умножим обе части уравнения на \(72x(x + 12)\):
\[72(x + 12) + 72x = 5x(x + 12),\]
\[144x + 864 = 5x^2 + 60x,\]
\[5x^2 - 84x - 864 = 0,\]
\[D = 7056 + 17\,280 = 24\,336,\]
\[x = \frac{84 \pm 156}{10}, \quad x_1 = 24, \ x_2 = -7{,}2.\]
Время работы положительно, поэтому корень \(-7{,}2\) не подходит по смыслу задачи.
\(24 + 12 = 36\) (ч) — время работы второй машинистки.
Ответ: 1) 8 ч и 12 ч; 2) 24 ч и 36 ч.
