Страница 81 номер 3.4.35, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) Из пункта A в пункт B велосипедист доехал на 40 мин быстрее, чем обратно, потому что возвращался он в пункт A со скоростью, на 2 км/ч меньшей. С какой скоростью ехал велосипедист из пункта A в пункт B, если расстояние между ними 40 км? 2) Дистанцию в 20 км первый лыжник преодолел на 30 мин быстрее второго, так как скорость его была на 2 км/ч больше. Какова скорость второго лыжника?
1)
Дано:
\(s = 40\) км — расстояние между пунктами \(A\) и \(B\)
скорость на обратном пути на 2 км/ч меньше
обратный путь на 40 мин длиннее
Найти: скорость велосипедиста на пути из \(A\) в \(B\).
Решение:
Пусть \(x\) км/ч — скорость из \(A\) в \(B\), тогда обратно — \((x - 2)\) км/ч. Время в пути \(\frac{40}{x}\) ч и \(\frac{40}{x - 2}\) ч, обратный путь на 40 мин, то есть на \(\frac{2}{3}\) ч, дольше:
\[\frac{40}{x - 2} - \frac{40}{x} = \frac{2}{3}.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne 2\). Умножим на \(3x(x - 2)\):
\[120x - 120(x - 2) = 2x(x - 2),\]
\[x^2 - 2x - 120 = 0,\]
\[D = 4 + 480 = 484, \quad x = \frac{2 \pm 22}{2}, \quad x_1 = 12, \ x_2 = -10.\]
Скорость велосипедиста положительна, поэтому корень \(-10\) не подходит по смыслу задачи.
Скорость на обратном пути равна \(12 - 2 = 10\) (км/ч), поэтому \(40 : 12 = 3\frac{1}{3}\) (ч) и \(40 : 10 = 4\) (ч) — время пути из \(A\) в \(B\) и обратного, разность равна \(\frac{2}{3}\) ч, то есть 40 мин.
2)
Дано:
\(s = 20\) км — длина дистанции
скорость первого лыжника на 2 км/ч больше
первый прошёл дистанцию на 30 мин быстрее
Найти: скорость второго лыжника.
Решение:
Пусть \(x\) км/ч — скорость второго лыжника, тогда первого — \((x + 2)\) км/ч. Время на дистанции \(\frac{20}{x}\) ч и \(\frac{20}{x + 2}\) ч, у первого на 30 мин, то есть на \(0{,}5\) ч, меньше:
\[\frac{20}{x} - \frac{20}{x + 2} = 0{,}5.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne -2\). Умножим на \(2x(x + 2)\):
\[40(x + 2) - 40x = x(x + 2),\]
\[x^2 + 2x - 80 = 0,\]
\[D = 4 + 320 = 324, \quad x = \frac{-2 \pm 18}{2}, \quad x_1 = 8, \ x_2 = -10.\]
Скорость лыжника положительна, поэтому корень \(-10\) не подходит по смыслу задачи.
Скорость первого лыжника равна \(8 + 2 = 10\) (км/ч), поэтому \(20 : 8 = 2{,}5\) (ч) и \(20 : 10 = 2\) (ч) — время второго и первого лыжников, разность равна \(0{,}5\) ч, то есть 30 мин.
Ответ: 1) 12 км/ч; 2) 8 км/ч.
1) Из пункта A в пункт B велосипедист доехал на 40 мин быстрее, чем обратно, потому что возвращался он в пункт A со скоростью, на 2 км/ч меньшей. С какой скоростью ехал велосипедист из пункта A в пункт B, если расстояние между ними 40 км? 2) Дистанцию в 20 км первый лыжник преодолел на 30 мин быстрее второго, так как скорость его была на 2 км/ч больше. Какова скорость второго лыжника?
1)
Дано:
\(s = 40\) км — расстояние между пунктами \(A\) и \(B\)
скорость на обратном пути на 2 км/ч меньше
обратный путь на 40 мин длиннее
Найти: скорость велосипедиста на пути из \(A\) в \(B\).
Решение:
Пусть \(x\) км/ч — скорость велосипедиста на пути из \(A\) в \(B\). Тогда на обратном пути его скорость равна \((x - 2)\) км/ч. Путь из \(A\) в \(B\) занял \(\frac{40}{x}\) ч, обратный путь — \(\frac{40}{x - 2}\) ч, и обратный путь длился на 40 мин, то есть на \(\frac{2}{3}\) ч, дольше:
\[\frac{40}{x - 2} - \frac{40}{x} = \frac{2}{3}.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne 2\). Умножим обе части уравнения на \(3x(x - 2)\):
\[120x - 120(x - 2) = 2x(x - 2),\]
\[240 = 2x^2 - 4x,\]
\[x^2 - 2x - 120 = 0,\]
\[D = 4 + 480 = 484,\]
\[x = \frac{2 \pm 22}{2}, \quad x_1 = 12, \ x_2 = -10.\]
Оба числа не обращают знаменатели в нуль, но скорость велосипедиста положительна, поэтому корень \(-10\) не подходит по смыслу задачи.
\(40 : 12 = 3\frac{1}{3}\) (ч) — время пути из \(A\) в \(B\); скорость на обратном пути равна \(12 - 2 = 10\) (км/ч), поэтому \(40 : 10 = 4\) (ч) — время обратного пути; разность равна \(\frac{2}{3}\) ч, то есть 40 мин.
2)
Дано:
\(s = 20\) км — длина дистанции
скорость первого лыжника на 2 км/ч больше
первый прошёл дистанцию на 30 мин быстрее
Найти: скорость второго лыжника.
Решение:
Пусть \(x\) км/ч — скорость второго лыжника. Тогда скорость первого равна \((x + 2)\) км/ч. Второй прошёл дистанцию за \(\frac{20}{x}\) ч, первый — за \(\frac{20}{x + 2}\) ч, и это на 30 мин, то есть на \(0{,}5\) ч, меньше:
\[\frac{20}{x} - \frac{20}{x + 2} = 0{,}5.\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(x \ne -2\). Умножим обе части уравнения на \(2x(x + 2)\):
\[40(x + 2) - 40x = x(x + 2),\]
\[80 = x^2 + 2x,\]
\[x^2 + 2x - 80 = 0,\]
\[D = 4 + 320 = 324,\]
\[x = \frac{-2 \pm 18}{2}, \quad x_1 = 8, \ x_2 = -10.\]
Скорость лыжника положительна, поэтому корень \(-10\) не подходит по смыслу задачи.
\(20 : 8 = 2{,}5\) (ч) — время второго лыжника; скорость первого равна \(8 + 2 = 10\) (км/ч), поэтому \(20 : 10 = 2\) (ч) — время первого; разность равна \(0{,}5\) ч, то есть 30 мин.
Ответ: 1) 12 км/ч; 2) 8 км/ч.
