Страница 81 номер 3.4.32, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

В каждой системе неизвестные стоят только в знаменателях, поэтому вводятся новые переменные, система относительно них решается способом сложения или подстановки, а затем выполняется обратная замена.

1)

\[\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 7. \end{cases}\]

Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\). Пусть \(u = \frac{1}{x}\), \(v = \frac{1}{y}\):

\[\begin{cases} u + v = 3, \\ u - v = 7. \end{cases}\]

Сложив уравнения почленно, получим \(2u = 10\), \(u = 5\); тогда \(v = 3 - 5 = -2\).

Обратная замена: \(\frac{1}{x} = 5\), \(x = \frac{1}{5}\); \(\frac{1}{y} = -2\), \(y = -\frac{1}{2}\). Оба числа отличны от нуля.

2)

\[\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -7, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1. \end{cases}\]

Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\). При \(u = \frac{1}{x}\), \(v = \frac{1}{y}\) система принимает вид

\[\begin{cases} u - v = -7, \\ u + v = 1. \end{cases}\]

Сложив уравнения почленно, получим \(2u = -6\), \(u = -3\); тогда \(v = 1 + 3 = 4\).

Обратная замена: \(x = -\frac{1}{3}\), \(y = \frac{1}{4}\). Оба числа отличны от нуля.

3)

\[\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 7, \\ \frac{2}{x} - \frac{1}{y} = 4. \end{cases}\]

Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\). При \(u = \frac{1}{x}\), \(v = \frac{1}{y}\) система принимает вид

\[\begin{cases} u + 2v = 7, \\ 2u - v = 4. \end{cases}\]

Из второго уравнения \(v = 2u - 4\). Подставим в первое: \(u + 2(2u - 4) = 7\), \(5u = 15\), \(u = 3\); тогда \(v = 2\).

Обратная замена: \(x = \frac{1}{3}\), \(y = \frac{1}{2}\). Оба числа отличны от нуля.

4)

\[\begin{cases} -\frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 2, \\ -\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 3. \end{cases}\]

Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\). При \(u = \frac{1}{x}\), \(v = \frac{1}{y}\) система принимает вид

\[\begin{cases} -3u + 2v = 2, \\ -2u + v = 3. \end{cases}\]

Из второго уравнения \(v = 3 + 2u\). Подставим в первое: \(-3u + 6 + 4u = 2\), \(u = -4\); тогда \(v = 3 - 8 = -5\).

Обратная замена: \(x = -\frac{1}{4}\), \(y = -\frac{1}{5}\). Оба числа отличны от нуля.

5)

\[\begin{cases} \frac{4}{x - y} + \frac{6}{x + y} = 3, \\ \frac{8}{x - y} - \frac{18}{x + y} = 1. \end{cases}\]

Знаменатели не равны нулю при \(x - y \ne 0\) и \(x + y \ne 0\). Пусть \(u = \frac{1}{x - y}\), \(v = \frac{1}{x + y}\):

\[\begin{cases} 4u + 6v = 3, \\ 8u - 18v = 1. \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 3 и сложим со вторым: \(12u + 18v = 9\) и \(8u - 18v = 1\) дают \(20u = 10\), \(u = 0{,}5\). Тогда \(6v = 3 - 4 \cdot 0{,}5 = 1\), \(v = \frac{1}{6}\).

Обратная замена: \(x - y = 2\), \(x + y = 6\). Сложив эти уравнения, получим \(2x = 8\), \(x = 4\), \(y = 2\). Разность и сумма отличны от нуля.

6)

\[\begin{cases} \frac{10}{x + y} - \frac{2}{x - y} = 1, \\ \frac{15}{x + y} + \frac{2}{x - y} = 4. \end{cases}\]

Знаменатели не равны нулю при \(x + y \ne 0\) и \(x - y \ne 0\). Пусть \(u = \frac{1}{x + y}\), \(v = \frac{1}{x - y}\):

\[\begin{cases} 10u - 2v = 1, \\ 15u + 2v = 4. \end{cases}\]

Коэффициенты при \(v\) противоположны, поэтому сложим уравнения почленно: \(25u = 5\), \(u = 0{,}2\). Тогда \(2v = 10 \cdot 0{,}2 - 1 = 1\), \(v = 0{,}5\).

Обратная замена: \(x + y = 5\), \(x - y = 2\). Сложив эти уравнения, получим \(2x = 7\), \(x = 3{,}5\), \(y = 1{,}5\). Сумма и разность отличны от нуля.

Ответ: 1) \(\left(\frac{1}{5};\ -\frac{1}{2}\right)\); 2) \(\left(-\frac{1}{3};\ \frac{1}{4}\right)\); 3) \(\left(\frac{1}{3};\ \frac{1}{2}\right)\); 4) \(\left(-\frac{1}{4};\ -\frac{1}{5}\right)\); 5) \((4;\ 2)\); 6) \((3{,}5;\ 1{,}5)\).