Страница 81 номер 3.4.31, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить уравнение (3.4.23—3.4.34): 1) \(\begin{cases}\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = 2\frac{2}{3},\\ x + y = 4;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = -2\frac{1}{2},\\ x - y = 12.\end{cases}\)
1) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\); \(2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}\). Из второго уравнения \(y = 4 - x\):
\[\frac{x}{4 - x} - \frac{4 - x}{x} = \frac{8}{3}.\]
Умножим на общий знаменатель \(3x(4 - x)\):
\[3x^2 - 3(4 - x)^2 = 8x(4 - x),\]
\[8x^2 - 8x - 48 = 0,\]
\[x^2 - x - 6 = 0,\]
\[D = 1 + 24 = 25, \quad x = \frac{1 \pm 5}{2}, \quad x_1 = 3, \ x_2 = -2.\]
По формуле \(y = 4 - x\): при \(x = 3\) получаем \(y = 1\), при \(x = -2\) получаем \(y = 6\). Ни одно из чисел не равно нулю, обе пары — решения.
2) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\); \(-2\frac{1}{2} = -\frac{5}{2}\). Из второго уравнения \(x = y + 12\):
\[\frac{y + 12}{y} + \frac{y}{y + 12} = -\frac{5}{2}.\]
Умножим на общий знаменатель \(2y(y + 12)\):
\[2(y + 12)^2 + 2y^2 = -5y(y + 12),\]
\[9y^2 + 108y + 288 = 0,\]
\[y^2 + 12y + 32 = 0,\]
\[D = 144 - 128 = 16, \quad y = \frac{-12 \pm 4}{2}, \quad y_1 = -4, \ y_2 = -8.\]
По формуле \(x = y + 12\): при \(y = -4\) получаем \(x = 8\), при \(y = -8\) получаем \(x = 4\). Ни одно из чисел не равно нулю, обе пары — решения.
Ответ: 1) \((-2;\ 6)\), \((3;\ 1)\); 2) \((4;\ -8)\), \((8;\ -4)\).
Решить уравнение (3.4.23—3.4.34): 1) \(\begin{cases}\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = 2\frac{2}{3},\\ x + y = 4;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = -2\frac{1}{2},\\ x - y = 12.\end{cases}\)
1)
\[\begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = 2\frac{2}{3}, \\ x + y = 4. \end{cases}\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\). Смешанную дробь запишем как неправильную: \(2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}\).
Из второго уравнения \(y = 4 - x\). Подставим в первое:
\[\frac{x}{4 - x} - \frac{4 - x}{x} = \frac{8}{3}.\]
Общий знаменатель равен \(3x(4 - x)\). Умножим на него обе части уравнения:
\[3x^2 - 3(4 - x)^2 = 8x(4 - x),\]
\[3x^2 - 48 + 24x - 3x^2 = 32x - 8x^2,\]
\[8x^2 - 8x - 48 = 0,\]
\[x^2 - x - 6 = 0,\]
\[D = 1 + 24 = 25,\]
\[x = \frac{1 \pm 5}{2}, \quad x_1 = 3, \ x_2 = -2.\]
По формуле \(y = 4 - x\): при \(x = 3\) получаем \(y = 1\), при \(x = -2\) получаем \(y = 6\). Ни одно из найденных чисел не равно нулю, обе пары являются решениями.
2)
\[\begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = -2\frac{1}{2}, \\ x - y = 12. \end{cases}\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\); \(-2\frac{1}{2} = -\frac{5}{2}\).
Из второго уравнения \(x = y + 12\). Подставим в первое:
\[\frac{y + 12}{y} + \frac{y}{y + 12} = -\frac{5}{2}.\]
Общий знаменатель равен \(2y(y + 12)\). Умножим на него обе части уравнения:
\[2(y + 12)^2 + 2y^2 = -5y(y + 12),\]
\[2y^2 + 48y + 288 + 2y^2 = -5y^2 - 60y,\]
\[9y^2 + 108y + 288 = 0,\]
\[y^2 + 12y + 32 = 0,\]
\[D = 144 - 128 = 16,\]
\[y = \frac{-12 \pm 4}{2}, \quad y_1 = -4, \ y_2 = -8.\]
По формуле \(x = y + 12\): при \(y = -4\) получаем \(x = 8\), при \(y = -8\) получаем \(x = 4\). Ни одно из найденных чисел не равно нулю, обе пары являются решениями.
Ответ: 1) \((-2;\ 6)\), \((3;\ 1)\); 2) \((4;\ -8)\), \((8;\ -4)\).
