Страница 81 номер 3.4.30, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить уравнение (3.4.23—3.4.34): 1) \(\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -\frac{1}{6},\\ x - y = 5;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -\frac{5}{4},\\ x + y = 3.\end{cases}\)
1) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\). Из второго уравнения \(x = y + 5\):
\[\frac{1}{y + 5} + \frac{1}{y} = -\frac{1}{6}.\]
Умножим на общий знаменатель \(6y(y + 5)\):
\[6y + 6(y + 5) = -y(y + 5),\]
\[y^2 + 17y + 30 = 0,\]
\[D = 289 - 120 = 169, \quad y = \frac{-17 \pm 13}{2}, \quad y_1 = -2, \ y_2 = -15.\]
По формуле \(x = y + 5\): при \(y = -2\) получаем \(x = 3\), при \(y = -15\) получаем \(x = -10\). Ни одно из чисел не равно нулю, обе пары — решения.
2) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\). Из второго уравнения \(y = 3 - x\):
\[\frac{1}{x} - \frac{1}{3 - x} = -\frac{5}{4}.\]
Умножим на общий знаменатель \(4x(3 - x)\):
\[4(3 - x) - 4x = -5x(3 - x),\]
\[5x^2 - 7x - 12 = 0,\]
\[D = 49 + 240 = 289, \quad x = \frac{7 \pm 17}{10}, \quad x_1 = 2{,}4, \ x_2 = -1.\]
По формуле \(y = 3 - x\): при \(x = 2{,}4\) получаем \(y = 0{,}6\), при \(x = -1\) получаем \(y = 4\). Ни одно из чисел не равно нулю, обе пары — решения.
Ответ: 1) \((-10;\ -15)\), \((3;\ -2)\); 2) \((-1;\ 4)\), \((2{,}4;\ 0{,}6)\).
Решить уравнение (3.4.23—3.4.34): 1) \(\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -\frac{1}{6},\\ x - y = 5;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -\frac{5}{4},\\ x + y = 3.\end{cases}\)
1)
\[\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -\frac{1}{6}, \\ x - y = 5. \end{cases}\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\).
Из второго уравнения \(x = y + 5\). Подставим в первое:
\[\frac{1}{y + 5} + \frac{1}{y} = -\frac{1}{6}.\]
Общий знаменатель дробей равен \(6y(y + 5)\). Умножим на него обе части уравнения:
\[6y + 6(y + 5) = -y(y + 5),\]
\[12y + 30 = -y^2 - 5y,\]
\[y^2 + 17y + 30 = 0,\]
\[D = 289 - 120 = 169,\]
\[y = \frac{-17 \pm 13}{2}, \quad y_1 = -2, \ y_2 = -15.\]
По формуле \(x = y + 5\): при \(y = -2\) получаем \(x = 3\), при \(y = -15\) получаем \(x = -10\). Ни одно из найденных чисел не равно нулю, обе пары являются решениями.
2)
\[\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -\frac{5}{4}, \\ x + y = 3. \end{cases}\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\).
Из второго уравнения \(y = 3 - x\). Подставим в первое:
\[\frac{1}{x} - \frac{1}{3 - x} = -\frac{5}{4}.\]
Общий знаменатель равен \(4x(3 - x)\). Умножим на него обе части уравнения:
\[4(3 - x) - 4x = -5x(3 - x),\]
\[12 - 8x = 5x^2 - 15x,\]
\[5x^2 - 7x - 12 = 0,\]
\[D = 49 + 240 = 289,\]
\[x = \frac{7 \pm 17}{10}, \quad x_1 = 2{,}4, \ x_2 = -1.\]
По формуле \(y = 3 - x\): при \(x = 2{,}4\) получаем \(y = 0{,}6\), при \(x = -1\) получаем \(y = 4\). Ни одно из найденных чисел не равно нулю, обе пары являются решениями.
Ответ: 1) \((-10;\ -15)\), \((3;\ -2)\); 2) \((-1;\ 4)\), \((2{,}4;\ 0{,}6)\).
