Страница 81 номер 3.4.29, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить уравнение (3.4.23—3.4.34): 1) \(\begin{cases}xy = -8,\\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{3}{4};\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}xy = -12,\\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -\frac{1}{12}.\end{cases}\)
1) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\).
\(\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y - x}{xy}\), а \(xy = -8\), поэтому \(\frac{y - x}{-8} = \frac{3}{4}\), откуда \(y - x = -6\), то есть \(x - y = 6\).
Тогда \(x = y + 6\) и
\[(y + 6)y = -8,\]
\[y^2 + 6y + 8 = 0,\]
\[D = 36 - 32 = 4, \quad y = \frac{-6 \pm 2}{2}, \quad y_1 = -2, \ y_2 = -4.\]
По формуле \(x = y + 6\): при \(y = -2\) получаем \(x = 4\), при \(y = -4\) получаем \(x = 2\). Ни одно из чисел не равно нулю, поэтому обе пары — решения системы.
2) Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\).
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy}\), а \(xy = -12\), поэтому \(\frac{x + y}{-12} = -\frac{1}{12}\), откуда \(x + y = 1\).
Сумма чисел \(x\) и \(y\) равна 1, произведение равно \(-12\), значит, по теореме, обратной теореме Виета, они корни уравнения
\[t^2 - t - 12 = 0,\]
\[D = 1 + 48 = 49, \quad t = \frac{1 \pm 7}{2}, \quad t_1 = 4, \ t_2 = -3.\]
Ни одно из чисел 4 и \(-3\) не равно нулю. Система симметрична относительно \(x\) и \(y\), поэтому подходят обе пары.
Ответ: 1) \((2;\ -4)\), \((4;\ -2)\); 2) \((-3;\ 4)\), \((4;\ -3)\).
Решить уравнение (3.4.23—3.4.34): 1) \(\begin{cases}xy = -8,\\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{3}{4};\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}xy = -12,\\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -\frac{1}{12}.\end{cases}\)
1)
\[\begin{cases} xy = -8, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{3}{4}. \end{cases}\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\).
Приведём левую часть второго уравнения к общему знаменателю: \(\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{y - x}{xy}\). По первому уравнению \(xy = -8\), поэтому
\[\frac{y - x}{-8} = \frac{3}{4},\]
\[y - x = -6, \quad \text{то есть} \quad x - y = 6.\]
Получилась система \(\begin{cases} xy = -8, \\ x - y = 6. \end{cases}\) Из второго уравнения \(x = y + 6\), тогда
\[(y + 6)y = -8,\]
\[y^2 + 6y + 8 = 0,\]
\[D = 36 - 32 = 4,\]
\[y = \frac{-6 \pm 2}{2}, \quad y_1 = -2, \ y_2 = -4.\]
По формуле \(x = y + 6\): при \(y = -2\) получаем \(x = 4\), при \(y = -4\) получаем \(x = 2\). Ни одно из найденных чисел не равно нулю, поэтому обе пары являются решениями системы.
2)
\[\begin{cases} xy = -12, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -\frac{1}{12}. \end{cases}\]
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\).
Левая часть второго уравнения равна \(\frac{x + y}{xy}\), а \(xy = -12\), поэтому
\[\frac{x + y}{-12} = -\frac{1}{12},\]
\[x + y = 1.\]
Числа \(x\) и \(y\) имеют сумму 1 и произведение \(-12\), значит, по теореме, обратной теореме Виета, они являются корнями уравнения
\[t^2 - t - 12 = 0,\]
\[D = 1 + 48 = 49,\]
\[t = \frac{1 \pm 7}{2}, \quad t_1 = 4, \ t_2 = -3.\]
Ни одно из чисел 4 и \(-3\) не равно нулю. Система симметрична относительно \(x\) и \(y\), поэтому подходят обе пары.
Ответ: 1) \((2;\ -4)\), \((4;\ -2)\); 2) \((-3;\ 4)\), \((4;\ -3)\).
