Страница 80 номер 3.4.26, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить уравнение (3.4.23—3.4.34): 1) \(\begin{cases}3x + 2y + 1 = 0,\\ (x + 3)^2 + (y - 3)^2 - 1 = 0;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}2x - 3y = 14,\\ (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 1.\end{cases}\)
1) Из первого уравнения \(y = \frac{-3x - 1}{2}\), тогда \(y - 3 = -\frac{3x + 7}{2}\):
\[(x + 3)^2 + \frac{(3x + 7)^2}{4} = 1.\]
Умножим на 4:
\[4x^2 + 24x + 36 + 9x^2 + 42x + 49 = 4,\]
\[13x^2 + 66x + 81 = 0,\]
\[D = 66^2 - 4 \cdot 13 \cdot 81 = 4356 - 4212 = 144, \quad x = \frac{-66 \pm 12}{26}, \quad x_1 = -\frac{27}{13} = -2\frac{1}{13}, \ x_2 = -3.\]
При \(x = -\frac{27}{13}\) получаем \(y = \frac{1}{2}\left(\frac{81}{13} - 1\right) = \frac{34}{13} = 2\frac{8}{13}\).
При \(x = -3\) получаем \(y = \frac{9 - 1}{2} = 4\).
2) Из первого уравнения \(y = \frac{2x - 14}{3}\), тогда \(y + 1 = \frac{2x - 11}{3}\):
\[(x - 4)^2 + \frac{(2x - 11)^2}{9} = 1.\]
Умножим на 9:
\[9x^2 - 72x + 144 + 4x^2 - 44x + 121 = 9,\]
\[13x^2 - 116x + 256 = 0,\]
\[D = 116^2 - 4 \cdot 13 \cdot 256 = 13\,456 - 13\,312 = 144, \quad x = \frac{116 \pm 12}{26}, \quad x_1 = \frac{64}{13} = 4\frac{12}{13}, \ x_2 = 4.\]
При \(x = \frac{64}{13}\) получаем \(y = \frac{1}{3}\left(\frac{128}{13} - 14\right) = -\frac{18}{13} = -1\frac{5}{13}\).
При \(x = 4\) получаем \(y = \frac{8 - 14}{3} = -2\).
Ответ: 1) \((-3;\ 4)\), \(\left(-2\frac{1}{13};\ 2\frac{8}{13}\right)\); 2) \((4;\ -2)\), \(\left(4\frac{12}{13};\ -1\frac{5}{13}\right)\).
Решить уравнение (3.4.23—3.4.34): 1) \(\begin{cases}3x + 2y + 1 = 0,\\ (x + 3)^2 + (y - 3)^2 - 1 = 0;\end{cases}\) 2) \(\begin{cases}2x - 3y = 14,\\ (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 1.\end{cases}\)
Каждая система содержит линейное уравнение, поэтому решаем её способом подстановки: выражаем \(y\) через \(x\) и подставляем во второе уравнение.
1)
\[\begin{cases} 3x + 2y + 1 = 0, \\ (x + 3)^2 + (y - 3)^2 - 1 = 0. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(2y = -3x - 1\), то есть \(y = \frac{-3x - 1}{2}\). Тогда \(y - 3 = \frac{-3x - 1 - 6}{2} = -\frac{3x + 7}{2}\), и второе уравнение принимает вид
\[(x + 3)^2 + \frac{(3x + 7)^2}{4} = 1.\]
Умножим обе части на 4:
\[4(x + 3)^2 + (3x + 7)^2 = 4,\]
\[4x^2 + 24x + 36 + 9x^2 + 42x + 49 = 4,\]
\[13x^2 + 66x + 81 = 0,\]
\[D = 66^2 - 4 \cdot 13 \cdot 81 = 4356 - 4212 = 144,\]
\[x = \frac{-66 \pm 12}{26}, \quad x_1 = -\frac{27}{13} = -2\frac{1}{13}, \ x_2 = -3.\]
При \(x = -\frac{27}{13}\) получаем \(y = \frac{1}{2}\left(\frac{81}{13} - 1\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{68}{13} = \frac{34}{13} = 2\frac{8}{13}\).
При \(x = -3\) получаем \(y = \frac{9 - 1}{2} = 4\).
2)
\[\begin{cases} 2x - 3y = 14, \\ (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 1. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(3y = 2x - 14\), то есть \(y = \frac{2x - 14}{3}\). Тогда \(y + 1 = \frac{2x - 14 + 3}{3} = \frac{2x - 11}{3}\), и второе уравнение принимает вид
\[(x - 4)^2 + \frac{(2x - 11)^2}{9} = 1.\]
Умножим обе части на 9:
\[9(x - 4)^2 + (2x - 11)^2 = 9,\]
\[9x^2 - 72x + 144 + 4x^2 - 44x + 121 = 9,\]
\[13x^2 - 116x + 256 = 0,\]
\[D = 116^2 - 4 \cdot 13 \cdot 256 = 13\,456 - 13\,312 = 144,\]
\[x = \frac{116 \pm 12}{26}, \quad x_1 = \frac{64}{13} = 4\frac{12}{13}, \ x_2 = 4.\]
При \(x = \frac{64}{13}\) получаем \(y = \frac{1}{3}\left(\frac{128}{13} - 14\right) = \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{54}{13}\right) = -\frac{18}{13} = -1\frac{5}{13}\).
При \(x = 4\) получаем \(y = \frac{8 - 14}{3} = -2\).
Ответ: 1) \((-3;\ 4)\), \(\left(-2\frac{1}{13};\ 2\frac{8}{13}\right)\); 2) \((4;\ -2)\), \(\left(4\frac{12}{13};\ -1\frac{5}{13}\right)\).
