Страница 80 номер 3.4.24, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой

1) Умножим обе части уравнения \(xy = -4\) на 2, получим систему, равносильную данной: \[\begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ 2xy = -8 \end{cases}\] Сложим почленно левые и правые части уравнений, а затем вычтем из первого уравнения второе: \[\begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 = 9, \\ x^2 - 2xy + y^2 = 25 \end{cases} \qquad \begin{cases} (x + y)^2 = 9, \\ (x - y)^2 = 25 \end{cases}\] Последняя система распадается на четыре системы, содержащие по два линейных уравнения: \[\begin{cases} x + y = 3, \\ x - y = 5 \end{cases} \qquad \begin{cases} x + y = 3, \\ x - y = -5 \end{cases}\] \[\begin{cases} x + y = -3, \\ x - y = 5 \end{cases} \qquad \begin{cases} x + y = -3, \\ x - y = -5 \end{cases}\] В каждой из них почленно сложим уравнения, а затем вычтем из первого уравнения второе: \[x_1 = 4,\ y_1 = -1; \qquad x_2 = -1,\ y_2 = 4;\] \[x_3 = 1,\ y_3 = -4; \qquad x_4 = -4,\ y_4 = 1.\]

2) Умножим обе части уравнения \(xy = -12\) на 2, получим систему, равносильную данной: \[\begin{cases} x^2 + y^2 = 40, \\ 2xy = -24 \end{cases}\] Сложим почленно левые и правые части уравнений, а затем вычтем из первого уравнения второе: \[\begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 = 16, \\ x^2 - 2xy + y^2 = 64 \end{cases} \qquad \begin{cases} (x + y)^2 = 16, \\ (x - y)^2 = 64 \end{cases}\] Последняя система распадается на четыре системы, содержащие по два линейных уравнения: \[\begin{cases} x + y = 4, \\ x - y = 8 \end{cases} \qquad \begin{cases} x + y = 4, \\ x - y = -8 \end{cases}\] \[\begin{cases} x + y = -4, \\ x - y = 8 \end{cases} \qquad \begin{cases} x + y = -4, \\ x - y = -8 \end{cases}\] В каждой из них почленно сложим уравнения, а затем вычтем из первого уравнения второе: \[x_1 = 6,\ y_1 = -2; \qquad x_2 = -2,\ y_2 = 6;\] \[x_3 = 2,\ y_3 = -6; \qquad x_4 = -6,\ y_4 = 2.\]

3) Умножим обе части уравнения \(xy = 21\) на 2, получим систему, равносильную данной: \[\begin{cases} x^2 + y^2 = 58, \\ 2xy = 42 \end{cases}\] Сложим почленно левые и правые части уравнений, а затем вычтем из первого уравнения второе: \[\begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 = 100, \\ x^2 - 2xy + y^2 = 16 \end{cases} \qquad \begin{cases} (x + y)^2 = 100, \\ (x - y)^2 = 16 \end{cases}\] Последняя система распадается на четыре системы, содержащие по два линейных уравнения: \[\begin{cases} x + y = 10, \\ x - y = 4 \end{cases} \qquad \begin{cases} x + y = 10, \\ x - y = -4 \end{cases}\] \[\begin{cases} x + y = -10, \\ x - y = 4 \end{cases} \qquad \begin{cases} x + y = -10, \\ x - y = -4 \end{cases}\] В каждой из них почленно сложим уравнения, а затем вычтем из первого уравнения второе: \[x_1 = 7,\ y_1 = 3; \qquad x_2 = 3,\ y_2 = 7;\] \[x_3 = -3,\ y_3 = -7; \qquad x_4 = -7,\ y_4 = -3.\]

4) Умножим обе части уравнения \(xy = 20\) на 2, получим систему, равносильную данной: \[\begin{cases} x^2 + y^2 = 41, \\ 2xy = 40 \end{cases}\] Сложим почленно левые и правые части уравнений, а затем вычтем из первого уравнения второе: \[\begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 = 81, \\ x^2 - 2xy + y^2 = 1 \end{cases} \qquad \begin{cases} (x + y)^2 = 81, \\ (x - y)^2 = 1 \end{cases}\] Последняя система распадается на четыре системы, содержащие по два линейных уравнения: \[\begin{cases} x + y = 9, \\ x - y = 1 \end{cases} \qquad \begin{cases} x + y = 9, \\ x - y = -1 \end{cases}\] \[\begin{cases} x + y = -9, \\ x - y = 1 \end{cases} \qquad \begin{cases} x + y = -9, \\ x - y = -1 \end{cases}\] В каждой из них почленно сложим уравнения, а затем вычтем из первого уравнения второе: \[x_1 = 5,\ y_1 = 4; \qquad x_2 = 4,\ y_2 = 5;\] \[x_3 = -4,\ y_3 = -5; \qquad x_4 = -5,\ y_4 = -4.\]

Ответ: 1) \((4;\ -1)\), \((-1;\ 4)\), \((1;\ -4)\), \((-4;\ 1)\); 2) \((6;\ -2)\), \((-2;\ 6)\), \((2;\ -6)\), \((-6;\ 2)\); 3) \((7;\ 3)\), \((3;\ 7)\), \((-3;\ -7)\), \((-7;\ -3)\); 4) \((5;\ 4)\), \((4;\ 5)\), \((-4;\ -5)\), \((-5;\ -4)\).