Страница 80 номер 3.4.22, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить уравнение (3.4.19—3.4.22): 1) \(3\left(\frac{8x - 1}{2x}\right)^2 + 5 \cdot \frac{8x - 1}{2x} - 2 = 0\); 2) \(4\left(\frac{5x + 1}{3x}\right)^2 - 11 \cdot \frac{5x + 1}{3x} - 3 = 0\).
1) Знаменатель не равен нулю при \(x \ne 0\).
При \(t = \frac{8x - 1}{2x}\) уравнение принимает вид \(3t^2 + 5t - 2 = 0\), где \(D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 49\), \(t_1 = \frac{-5 - 7}{6} = -2\), \(t_2 = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{1}{3}\).
Если \(\frac{8x - 1}{2x} = -2\), то \(8x - 1 = -4x\), откуда \(12x = 1\) и \(x = \frac{1}{12}\).
Если \(\frac{8x - 1}{2x} = \frac{1}{3}\), то \(3(8x - 1) = 2x\), откуда \(22x = 3\) и \(x = \frac{3}{22}\).
Оба числа отличны от нуля, значит, оба корни.
2) Знаменатель не равен нулю при \(x \ne 0\).
При \(t = \frac{5x + 1}{3x}\) уравнение принимает вид \(4t^2 - 11t - 3 = 0\), где \(D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 169\), \(t_1 = \frac{11 - 13}{8} = -\frac{1}{4}\), \(t_2 = \frac{11 + 13}{8} = 3\).
Если \(\frac{5x + 1}{3x} = -\frac{1}{4}\), то \(4(5x + 1) = -3x\), откуда \(23x = -4\) и \(x = -\frac{4}{23}\).
Если \(\frac{5x + 1}{3x} = 3\), то \(5x + 1 = 9x\), откуда \(4x = 1\) и \(x = \frac{1}{4}\).
Оба числа отличны от нуля, значит, оба корни.
Ответ: 1) \(\frac{1}{12}\) и \(\frac{3}{22}\); 2) \(-\frac{4}{23}\) и \(\frac{1}{4}\).
Решить уравнение (3.4.19—3.4.22): 1) \(3\left(\frac{8x - 1}{2x}\right)^2 + 5 \cdot \frac{8x - 1}{2x} - 2 = 0\); 2) \(4\left(\frac{5x + 1}{3x}\right)^2 - 11 \cdot \frac{5x + 1}{3x} - 3 = 0\).
1) Знаменатель не равен нулю при \(x \ne 0\).
Введём новую переменную \(t = \frac{8x - 1}{2x}\). Уравнение принимает вид \[3t^2 + 5t - 2 = 0.\] \[D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49.\] \[t_1 = \frac{-5 - 7}{6} = -2, \quad t_2 = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{1}{3}.\] Вернёмся к переменной \(x\).
Если \(\frac{8x - 1}{2x} = -2\), то \(8x - 1 = -4x\), откуда \(12x = 1\) и \(x = \frac{1}{12}\).
Если \(\frac{8x - 1}{2x} = \frac{1}{3}\), то \(3(8x - 1) = 2x\), откуда \(24x - 3 = 2x\), \(22x = 3\) и \(x = \frac{3}{22}\).
Оба числа отличны от нуля, значит, оба являются корнями уравнения.
2) Знаменатель не равен нулю при \(x \ne 0\).
Введём новую переменную \(t = \frac{5x + 1}{3x}\). Уравнение принимает вид \[4t^2 - 11t - 3 = 0.\] \[D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169.\] \[t_1 = \frac{11 - 13}{8} = -\frac{1}{4}, \quad t_2 = \frac{11 + 13}{8} = 3.\] Вернёмся к переменной \(x\).
Если \(\frac{5x + 1}{3x} = -\frac{1}{4}\), то \(4(5x + 1) = -3x\), откуда \(20x + 4 = -3x\), \(23x = -4\) и \(x = -\frac{4}{23}\).
Если \(\frac{5x + 1}{3x} = 3\), то \(5x + 1 = 9x\), откуда \(4x = 1\) и \(x = \frac{1}{4}\).
Оба числа отличны от нуля, значит, оба являются корнями уравнения.
Ответ: 1) \(\frac{1}{12}\) и \(\frac{3}{22}\); 2) \(-\frac{4}{23}\) и \(\frac{1}{4}\).
