Страница 80 номер 3.4.21, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить уравнение (3.4.19—3.4.22): 1) \(\frac{12x + 1}{x^3 - 64} = \frac{2}{x - 4} - \frac{13x - 4}{x^2 + 4x + 16}\); 2) \(\frac{15x + 14}{x^3 - 27} = \frac{8x + 5}{x^2 + 3x + 9} + \frac{1}{x - 3}\).
1) \(x^3 - 64 = (x - 4)(x^2 + 4x + 16)\). У уравнения \(x^2 + 4x + 16 = 0\) дискриминант \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = -48\) отрицателен, поэтому \(x^2 + 4x + 16\) в нуль не обращается ни при каком \(x\), и знаменатели не равны нулю при \(x \ne 4\).
Умножим на общий знаменатель \((x - 4)(x^2 + 4x + 16)\): \[12x + 1 = 2(x^2 + 4x + 16) - (13x - 4)(x - 4), \quad 12x + 1 = -11x^2 + 64x + 16, \quad 11x^2 - 52x - 15 = 0.\]
\(D = (-52)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-15) = 2704 + 660 = 3364\); \(x_1 = \frac{52 - 58}{22} = -\frac{3}{11}\), \(x_2 = \frac{52 + 58}{22} = 5\) — оба удовлетворяют условию \(x \ne 4\), значит, оба корни.
2) \(x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)\). У уравнения \(x^2 + 3x + 9 = 0\) дискриминант \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = -27\) отрицателен, поэтому \(x^2 + 3x + 9\) в нуль не обращается ни при каком \(x\), и знаменатели не равны нулю при \(x \ne 3\).
Умножим на общий знаменатель \((x - 3)(x^2 + 3x + 9)\): \[15x + 14 = (8x + 5)(x - 3) + x^2 + 3x + 9, \quad 15x + 14 = 9x^2 - 16x - 6, \quad 9x^2 - 31x - 20 = 0.\]
\(D = (-31)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-20) = 961 + 720 = 1681\); \(x_1 = \frac{31 - 41}{18} = -\frac{5}{9}\), \(x_2 = \frac{31 + 41}{18} = 4\) — оба удовлетворяют условию \(x \ne 3\), значит, оба корни.
Ответ: 1) \(-\frac{3}{11}\) и 5; 2) \(-\frac{5}{9}\) и 4.
Решить уравнение (3.4.19—3.4.22): 1) \(\frac{12x + 1}{x^3 - 64} = \frac{2}{x - 4} - \frac{13x - 4}{x^2 + 4x + 16}\); 2) \(\frac{15x + 14}{x^3 - 27} = \frac{8x + 5}{x^2 + 3x + 9} + \frac{1}{x - 3}\).
1) По формуле разности кубов \(x^3 - 64 = (x - 4)(x^2 + 4x + 16)\). Уравнение \(x^2 + 4x + 16 = 0\) корней не имеет, так как его дискриминант \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = -48\) отрицателен; значит, выражение \(x^2 + 4x + 16\) в нуль не обращается ни при каком \(x\), и знаменатели не равны нулю при \(x \ne 4\).
Общий знаменатель дробей равен \((x - 4)(x^2 + 4x + 16)\); умножим на него обе части уравнения: \[12x + 1 = 2(x^2 + 4x + 16) - (13x - 4)(x - 4),\] \[12x + 1 = 2x^2 + 8x + 32 - 13x^2 + 56x - 16,\] \[12x + 1 = -11x^2 + 64x + 16,\] \[11x^2 - 52x - 15 = 0.\] \[D = (-52)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-15) = 2704 + 660 = 3364.\] \[x_1 = \frac{52 - 58}{22} = -\frac{3}{11}, \quad x_2 = \frac{52 + 58}{22} = 5.\]
Оба числа удовлетворяют условию \(x \ne 4\), значит, оба являются корнями уравнения.
2) По формуле разности кубов \(x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)\). Уравнение \(x^2 + 3x + 9 = 0\) корней не имеет, так как его дискриминант \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = -27\) отрицателен; значит, выражение \(x^2 + 3x + 9\) в нуль не обращается ни при каком \(x\), и знаменатели не равны нулю при \(x \ne 3\).
Общий знаменатель дробей равен \((x - 3)(x^2 + 3x + 9)\); умножим на него обе части уравнения: \[15x + 14 = (8x + 5)(x - 3) + x^2 + 3x + 9,\] \[15x + 14 = 8x^2 - 19x - 15 + x^2 + 3x + 9,\] \[15x + 14 = 9x^2 - 16x - 6,\] \[9x^2 - 31x - 20 = 0.\] \[D = (-31)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-20) = 961 + 720 = 1681.\] \[x_1 = \frac{31 - 41}{18} = -\frac{5}{9}, \quad x_2 = \frac{31 + 41}{18} = 4.\]
Оба числа удовлетворяют условию \(x \ne 3\), значит, оба являются корнями уравнения.
Ответ: 1) \(-\frac{3}{11}\) и 5; 2) \(-\frac{5}{9}\) и 4.
