Страница 80 номер 3.4.20, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить уравнение (3.4.19—3.4.22): 1) \(\frac{x^2}{x^2 + 1} - \frac{8}{x^2 + 6} = 0\); 2) \(\frac{x^2}{2x^2 - 9} - \frac{10}{x^2 + 1} = 0\); 3) \(\frac{14}{x^2 + 3} - \frac{5}{2x^2 - 3} = 1\); 4) \(\frac{5}{2x^2 + 1} - \frac{2}{x^2 + 2} = 1\).
1) Выражения \(x^2 + 1\) и \(x^2 + 6\) положительны и в нуль не обращаются ни при каком \(x\). Умножим на общий знаменатель \((x^2 + 1)(x^2 + 6)\): \[x^2(x^2 + 6) - 8(x^2 + 1) = 0, \quad x^4 - 2x^2 - 8 = 0.\]
При \(t = x^2\): \(t^2 - 2t - 8 = 0\), где \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36\), \(t_1 = \frac{2 - 6}{2} = -2\), \(t_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4\).
Уравнение \(x^2 = -2\) корней не имеет, а \(x^2 = 4\) даёт корни \(-2\) и 2; знаменатели они в нуль не обращают.
2) Выражение \(x^2 + 1\) в нуль не обращается ни при каком \(x\); \(2x^2 - 9\) обращается в нуль при \(x^2 = 4{,}5\). Умножим на общий знаменатель \((2x^2 - 9)(x^2 + 1)\): \[x^2(x^2 + 1) - 10(2x^2 - 9) = 0, \quad x^4 - 19x^2 + 90 = 0.\]
При \(t = x^2\): \(t^2 - 19t + 90 = 0\), где \(D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90 = 1\), \(t_1 = \frac{19 - 1}{2} = 9\), \(t_2 = \frac{19 + 1}{2} = 10\).
Уравнение \(x^2 = 9\) даёт корни \(-3\) и 3, уравнение \(x^2 = 10\) — корни \(-\sqrt{10}\) и \(\sqrt{10}\). Знаменатель \(2x^2 - 9\) ни при одном из них в нуль не обращается: при \(x^2 = 9\) он равен 9, при \(x^2 = 10\) — 11. Значит, все четыре числа — корни.
3) Выражение \(x^2 + 3\) в нуль не обращается ни при каком \(x\); \(2x^2 - 3\) обращается в нуль при \(x^2 = 1{,}5\). Умножим на общий знаменатель \((x^2 + 3)(2x^2 - 3)\): \[14(2x^2 - 3) - 5(x^2 + 3) = (x^2 + 3)(2x^2 - 3), \quad 23x^2 - 57 = 2x^4 + 3x^2 - 9, \quad 2x^4 - 20x^2 + 48 = 0, \quad x^4 - 10x^2 + 24 = 0.\]
При \(t = x^2\): \(t^2 - 10t + 24 = 0\), где \(D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 4\), \(t_1 = \frac{10 - 2}{2} = 4\), \(t_2 = \frac{10 + 2}{2} = 6\).
Уравнение \(x^2 = 4\) даёт корни \(-2\) и 2, уравнение \(x^2 = 6\) — корни \(-\sqrt{6}\) и \(\sqrt{6}\). Знаменатель \(2x^2 - 3\) ни при одном из них в нуль не обращается: при \(x^2 = 4\) он равен 5, при \(x^2 = 6\) — 9. Значит, все четыре числа — корни.
4) Выражения \(2x^2 + 1\) и \(x^2 + 2\) положительны и в нуль не обращаются ни при каком \(x\). Умножим на общий знаменатель \((2x^2 + 1)(x^2 + 2)\): \[5(x^2 + 2) - 2(2x^2 + 1) = (2x^2 + 1)(x^2 + 2), \quad x^2 + 8 = 2x^4 + 5x^2 + 2, \quad 2x^4 + 4x^2 - 6 = 0, \quad x^4 + 2x^2 - 3 = 0.\]
При \(t = x^2\): \(t^2 + 2t - 3 = 0\), где \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16\), \(t_1 = \frac{-2 - 4}{2} = -3\), \(t_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1\).
Уравнение \(x^2 = -3\) корней не имеет, а \(x^2 = 1\) даёт корни \(-1\) и 1; знаменатели они в нуль не обращают.
Ответ: 1) \(-2\) и 2; 2) \(-3\), 3, \(-\sqrt{10}\) и \(\sqrt{10}\); 3) \(-2\), 2, \(-\sqrt{6}\) и \(\sqrt{6}\); 4) \(-1\) и 1.
Решить уравнение (3.4.19—3.4.22): 1) \(\frac{x^2}{x^2 + 1} - \frac{8}{x^2 + 6} = 0\); 2) \(\frac{x^2}{2x^2 - 9} - \frac{10}{x^2 + 1} = 0\); 3) \(\frac{14}{x^2 + 3} - \frac{5}{2x^2 - 3} = 1\); 4) \(\frac{5}{2x^2 + 1} - \frac{2}{x^2 + 2} = 1\).
1) Квадрат числа неотрицателен, поэтому выражения \(x^2 + 1\) и \(x^2 + 6\) принимают только положительные значения и в нуль не обращаются ни при каком \(x\). Общий знаменатель дробей равен \((x^2 + 1)(x^2 + 6)\); умножим на него обе части уравнения: \[x^2(x^2 + 6) - 8(x^2 + 1) = 0,\] \[x^4 - 2x^2 - 8 = 0.\] Введём новую переменную \(t = x^2\): \[t^2 - 2t - 8 = 0.\] \[D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36.\] \[t_1 = \frac{2 - 6}{2} = -2, \quad t_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4.\] Уравнение \(x^2 = -2\) корней не имеет, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Уравнение \(x^2 = 4\) имеет корни \(-2\) и 2; они не обращают знаменатели в нуль.
2) Выражение \(x^2 + 1\) в нуль не обращается ни при каком \(x\); выражение \(2x^2 - 9\) обращается в нуль, когда \(x^2 = 4{,}5\). Общий знаменатель дробей равен \((2x^2 - 9)(x^2 + 1)\); умножим на него обе части уравнения: \[x^2(x^2 + 1) - 10(2x^2 - 9) = 0,\] \[x^4 - 19x^2 + 90 = 0.\] Введём новую переменную \(t = x^2\): \[t^2 - 19t + 90 = 0.\] \[D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 90 = 361 - 360 = 1.\] \[t_1 = \frac{19 - 1}{2} = 9, \quad t_2 = \frac{19 + 1}{2} = 10.\] Уравнение \(x^2 = 9\) имеет корни \(-3\) и 3, уравнение \(x^2 = 10\) — корни \(-\sqrt{10}\) и \(\sqrt{10}\). Знаменатель \(2x^2 - 9\) ни при одном из них в нуль не обращается: при \(x^2 = 9\) он равен 9, при \(x^2 = 10\) он равен 11. Значит, все четыре числа — корни уравнения.
3) Выражение \(x^2 + 3\) в нуль не обращается ни при каком \(x\); выражение \(2x^2 - 3\) обращается в нуль, когда \(x^2 = 1{,}5\). Общий знаменатель дробей равен \((x^2 + 3)(2x^2 - 3)\); умножим на него обе части уравнения: \[14(2x^2 - 3) - 5(x^2 + 3) = (x^2 + 3)(2x^2 - 3),\] \[23x^2 - 57 = 2x^4 + 3x^2 - 9,\] \[2x^4 - 20x^2 + 48 = 0,\] \[x^4 - 10x^2 + 24 = 0.\] Введём новую переменную \(t = x^2\): \[t^2 - 10t + 24 = 0.\] \[D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4.\] \[t_1 = \frac{10 - 2}{2} = 4, \quad t_2 = \frac{10 + 2}{2} = 6.\] Уравнение \(x^2 = 4\) имеет корни \(-2\) и 2, уравнение \(x^2 = 6\) — корни \(-\sqrt{6}\) и \(\sqrt{6}\). Знаменатель \(2x^2 - 3\) ни при одном из них в нуль не обращается: при \(x^2 = 4\) он равен 5, при \(x^2 = 6\) он равен 9. Значит, все четыре числа — корни уравнения.
4) Выражения \(2x^2 + 1\) и \(x^2 + 2\) принимают только положительные значения и в нуль не обращаются ни при каком \(x\). Общий знаменатель дробей равен \((2x^2 + 1)(x^2 + 2)\); умножим на него обе части уравнения: \[5(x^2 + 2) - 2(2x^2 + 1) = (2x^2 + 1)(x^2 + 2),\] \[x^2 + 8 = 2x^4 + 5x^2 + 2,\] \[2x^4 + 4x^2 - 6 = 0,\] \[x^4 + 2x^2 - 3 = 0.\] Введём новую переменную \(t = x^2\): \[t^2 + 2t - 3 = 0.\] \[D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.\] \[t_1 = \frac{-2 - 4}{2} = -3, \quad t_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1.\] Уравнение \(x^2 = -3\) корней не имеет, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Уравнение \(x^2 = 1\) имеет корни \(-1\) и 1; они не обращают знаменатели в нуль.
Ответ: 1) \(-2\) и 2; 2) \(-3\), 3, \(-\sqrt{10}\) и \(\sqrt{10}\); 3) \(-2\), 2, \(-\sqrt{6}\) и \(\sqrt{6}\); 4) \(-1\) и 1.
