Страница 80 номер 3.4.19, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
Решить уравнение (3.4.19—3.4.22): 1) \(\frac{2}{2x - 3} + \frac{3}{x - 1} = \frac{6}{2x^2 - 5x + 3} - 1\); 2) \(\frac{4}{2x + 5} - \frac{3}{x + 3} = \frac{3}{2x^2 + 11x + 15} - 2\); 3) \(\frac{x}{x - 2} - \frac{2x}{x + 3} = \frac{x + 3}{x^2 + x - 6} + 1\); 4) \(\frac{3x}{2x - 1} + \frac{2x}{x + 2} = \frac{x + 7}{2x^2 + 3x - 2} + 1\).
1) У уравнения \(2x^2 - 5x + 3 = 0\) дискриминант \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1\) и корни \(x_1 = 1\), \(x_2 = 1{,}5\), поэтому \(2x^2 - 5x + 3 = (x - 1)(2x - 3)\).
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 1{,}5\) и \(x \ne 1\). Умножим на общий знаменатель \((2x - 3)(x - 1)\): \[2(x - 1) + 3(2x - 3) = 6 - (2x - 3)(x - 1), \quad 8x - 11 = 6 - 2x^2 + 5x - 3, \quad 2x^2 + 3x - 14 = 0.\]
\(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121\); \(x_1 = \frac{-3 - 11}{4} = -3{,}5\), \(x_2 = \frac{-3 + 11}{4} = 2\) — знаменатели они в нуль не обращают, значит, оба корни.
2) У уравнения \(2x^2 + 11x + 15 = 0\) дискриминант \(D = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 1\) и корни \(x_1 = -3\), \(x_2 = -2{,}5\), поэтому \(2x^2 + 11x + 15 = (x + 3)(2x + 5)\).
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -2{,}5\) и \(x \ne -3\). Умножим на общий знаменатель \((2x + 5)(x + 3)\): \[4(x + 3) - 3(2x + 5) = 3 - 2(2x + 5)(x + 3), \quad -2x - 3 = 3 - 4x^2 - 22x - 30, \quad 4x^2 + 20x + 24 = 0, \quad x^2 + 5x + 6 = 0.\]
\(D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\); \(x_1 = \frac{-5 - 1}{2} = -3\), \(x_2 = \frac{-5 + 1}{2} = -2\).
При \(x = -3\) знаменатель обращается в нуль, значит, корень один: \(-2\).
3) У уравнения \(x^2 + x - 6 = 0\) дискриминант \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25\) и корни \(x_1 = -3\), \(x_2 = 2\), поэтому \(x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)\).
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 2\) и \(x \ne -3\). Умножим на общий знаменатель \((x - 2)(x + 3)\): \[x(x + 3) - 2x(x - 2) = (x + 3) + (x + 3)(x - 2), \quad -x^2 + 7x = x^2 + 2x - 3, \quad 2x^2 - 5x - 3 = 0.\]
\(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\); \(x_1 = \frac{5 - 7}{4} = -0{,}5\), \(x_2 = \frac{5 + 7}{4} = 3\) — знаменатели они в нуль не обращают, значит, оба корни.
4) У уравнения \(2x^2 + 3x - 2 = 0\) дискриминант \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 25\) и корни \(x_1 = -2\), \(x_2 = 0{,}5\), поэтому \(2x^2 + 3x - 2 = (x + 2)(2x - 1)\).
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0{,}5\) и \(x \ne -2\). Умножим на общий знаменатель \((2x - 1)(x + 2)\): \[3x(x + 2) + 2x(2x - 1) = (x + 7) + (2x - 1)(x + 2), \quad 7x^2 + 4x = 2x^2 + 4x + 5, \quad 5x^2 - 5 = 0, \quad x^2 = 1.\]
Отсюда \(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\) — знаменатели они в нуль не обращают, значит, оба корни.
Ответ: 1) \(-3{,}5\) и 2; 2) \(-2\); 3) \(-0{,}5\) и 3; 4) \(-1\) и 1.
Решить уравнение (3.4.19—3.4.22): 1) \(\frac{2}{2x - 3} + \frac{3}{x - 1} = \frac{6}{2x^2 - 5x + 3} - 1\); 2) \(\frac{4}{2x + 5} - \frac{3}{x + 3} = \frac{3}{2x^2 + 11x + 15} - 2\); 3) \(\frac{x}{x - 2} - \frac{2x}{x + 3} = \frac{x + 3}{x^2 + x - 6} + 1\); 4) \(\frac{3x}{2x - 1} + \frac{2x}{x + 2} = \frac{x + 7}{2x^2 + 3x - 2} + 1\).
1) Разложим на множители знаменатель \(2x^2 - 5x + 3\). Дискриминант уравнения \(2x^2 - 5x + 3 = 0\) равен \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1\), его корни \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 1{,}5\), поэтому \(2x^2 - 5x + 3 = 2(x - 1)(x - 1{,}5) = (x - 1)(2x - 3)\).
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 1{,}5\) и \(x \ne 1\). Общий знаменатель дробей равен \((2x - 3)(x - 1)\); умножим на него обе части уравнения: \[2(x - 1) + 3(2x - 3) = 6 - (2x - 3)(x - 1),\] \[8x - 11 = 6 - 2x^2 + 5x - 3,\] \[2x^2 + 3x - 14 = 0.\] \[D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121.\] \[x_1 = \frac{-3 - 11}{4} = -3{,}5, \quad x_2 = \frac{-3 + 11}{4} = 2.\]
Оба числа не обращают знаменатели в нуль, значит, оба являются корнями уравнения.
2) Разложим на множители знаменатель \(2x^2 + 11x + 15\). Дискриминант уравнения \(2x^2 + 11x + 15 = 0\) равен \(D = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 1\), его корни \(x_1 = -3\) и \(x_2 = -2{,}5\), поэтому \(2x^2 + 11x + 15 = 2(x + 3)(x + 2{,}5) = (x + 3)(2x + 5)\).
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne -2{,}5\) и \(x \ne -3\). Общий знаменатель дробей равен \((2x + 5)(x + 3)\); умножим на него обе части уравнения: \[4(x + 3) - 3(2x + 5) = 3 - 2(2x + 5)(x + 3),\] \[-2x - 3 = 3 - 4x^2 - 22x - 30,\] \[4x^2 + 20x + 24 = 0,\] \[x^2 + 5x + 6 = 0.\] \[D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1.\] \[x_1 = \frac{-5 - 1}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-5 + 1}{2} = -2.\]
Если \(x = -3\), то \((2x + 5)(x + 3) = 0\); если \(x = -2\), то \((2x + 5)(x + 3) \ne 0\). Значит, корнем уравнения является только число \(-2\).
3) Разложим на множители знаменатель \(x^2 + x - 6\). Дискриминант уравнения \(x^2 + x - 6 = 0\) равен \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25\), его корни \(x_1 = -3\) и \(x_2 = 2\), поэтому \(x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)\).
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 2\) и \(x \ne -3\). Общий знаменатель дробей равен \((x - 2)(x + 3)\); умножим на него обе части уравнения: \[x(x + 3) - 2x(x - 2) = (x + 3) + (x + 3)(x - 2),\] \[-x^2 + 7x = x^2 + 2x - 3,\] \[2x^2 - 5x - 3 = 0.\] \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49.\] \[x_1 = \frac{5 - 7}{4} = -0{,}5, \quad x_2 = \frac{5 + 7}{4} = 3.\]
Оба числа не обращают знаменатели в нуль, значит, оба являются корнями уравнения.
4) Разложим на множители знаменатель \(2x^2 + 3x - 2\). Дискриминант уравнения \(2x^2 + 3x - 2 = 0\) равен \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 25\), его корни \(x_1 = -2\) и \(x_2 = 0{,}5\), поэтому \(2x^2 + 3x - 2 = 2(x + 2)(x - 0{,}5) = (x + 2)(2x - 1)\).
Знаменатели не равны нулю при \(x \ne 0{,}5\) и \(x \ne -2\). Общий знаменатель дробей равен \((2x - 1)(x + 2)\); умножим на него обе части уравнения: \[3x(x + 2) + 2x(2x - 1) = (x + 7) + (2x - 1)(x + 2),\] \[7x^2 + 4x = 2x^2 + 4x + 5,\] \[5x^2 - 5 = 0,\] \[x^2 = 1,\] \[x_1 = -1, \quad x_2 = 1.\]
Оба числа не обращают знаменатели в нуль, значит, оба являются корнями уравнения.
Ответ: 1) \(-3{,}5\) и 2; 2) \(-2\); 3) \(-0{,}5\) и 3; 4) \(-1\) и 1.
