Страница 79 номер 3.4.18, ГДЗ по алгебре за 7, 8 и 9 класс к задачнику Ткачевой
1) Периметр прямоугольника равен 66 см, а площадь — 270 см\(^2\). Найти стороны прямоугольника. 2) Периметр прямоугольного треугольника равен 60 дм, а площадь — 150 дм\(^2\). Найти стороны треугольника.
1)
Дано:
прямоугольник
66 см — периметр
270 см\(^2\) — площадь
Найти: стороны прямоугольника.
Решение:
Пусть \(x\) см и \(y\) см — стороны. Тогда \(2(x + y) = 66\), то есть \(x + y = 33\), и \(xy = 270\): \[\begin{cases} x + y = 33, \\ xy = 270 \end{cases}\]
Из первого уравнения \(y = 33 - x\); подставим во второе: \[x(33 - x) = 270, \quad x^2 - 33x + 270 = 0.\]
\(D = (-33)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 270 = 1089 - 1080 = 9\); \(x_1 = \frac{33 - 3}{2} = 15\), \(x_2 = \frac{33 + 3}{2} = 18\).
При \(x = 15\) получаем \(y = 18\), при \(x = 18\) — \(y = 15\): в обоих случаях это одна и та же пара сторон 15 см и 18 см.
2)
Дано:
треугольник прямоугольный
60 дм — периметр
150 дм\(^2\) — площадь
Найти: стороны треугольника.
Решение:
Пусть \(x\) дм и \(y\) дм — катеты, \(z\) дм — гипотенуза. Тогда \(\frac{1}{2}xy = 150\), то есть \(xy = 300\); кроме того, \(x + y + z = 60\) и \(x^2 + y^2 = z^2\).
Возведём равенство \(x + y = 60 - z\) в квадрат: \[x^2 + 2xy + y^2 = 3600 - 120z + z^2.\]
Заменим \(x^2 + y^2\) на \(z^2\), а \(xy\) на 300: \[z^2 + 600 = 3600 - 120z + z^2, \quad 120z = 3000, \quad z = 25.\]
Тогда \(x + y = 60 - 25 = 35\): \[\begin{cases} x + y = 35, \\ xy = 300 \end{cases}\]
Из первого уравнения \(y = 35 - x\); подставим во второе: \[x(35 - x) = 300, \quad x^2 - 35x + 300 = 0.\]
\(D = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300 = 1225 - 1200 = 25\); \(x_1 = \frac{35 - 5}{2} = 15\), \(x_2 = \frac{35 + 5}{2} = 20\).
При \(x = 15\) получаем \(y = 20\), при \(x = 20\) — \(y = 15\): в обоих случаях катеты — 15 дм и 20 дм, гипотенуза — 25 дм.
Ответ: 1) 15 см и 18 см; 2) 15 дм, 20 дм и 25 дм.
1) Периметр прямоугольника равен 66 см, а площадь — 270 см\(^2\). Найти стороны прямоугольника. 2) Периметр прямоугольного треугольника равен 60 дм, а площадь — 150 дм\(^2\). Найти стороны треугольника.
1)
Дано:
прямоугольник
66 см — периметр
270 см\(^2\) — площадь
Найти: стороны прямоугольника.
Решение:
Пусть \(x\) см и \(y\) см — стороны прямоугольника. Периметр прямоугольника равен \(2(x + y)\) см, а площадь равна \(xy\) см\(^2\), поэтому \(2(x + y) = 66\) и \(xy = 270\). Из первого равенства \(x + y = 33\), и задача сводится к системе \[\begin{cases} x + y = 33, \\ xy = 270 \end{cases}\] Выразим из первого уравнения \(y = 33 - x\) и подставим это выражение во второе уравнение: \[x(33 - x) = 270,\] \[x^2 - 33x + 270 = 0.\] \[D = (-33)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 270 = 1089 - 1080 = 9.\] \[x_1 = \frac{33 - 3}{2} = 15, \quad x_2 = \frac{33 + 3}{2} = 18.\] При \(x = 15\) получаем \(y = 18\), при \(x = 18\) получаем \(y = 15\). В обоих случаях это одна и та же пара сторон: 15 см и 18 см.
2)
Дано:
треугольник прямоугольный
60 дм — периметр
150 дм\(^2\) — площадь
Найти: стороны треугольника.
Решение:
Пусть \(x\) дм и \(y\) дм — катеты треугольника, а \(z\) дм — его гипотенуза. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, поэтому \(\frac{1}{2}xy = 150\), то есть \(xy = 300\). Периметр даёт равенство \(x + y + z = 60\), а по теореме Пифагора \(x^2 + y^2 = z^2\).
Из равенства \(x + y + z = 60\) получаем \(x + y = 60 - z\). Возведём обе части в квадрат: \[(x + y)^2 = (60 - z)^2,\] \[x^2 + 2xy + y^2 = 3600 - 120z + z^2.\] Заменим \(x^2 + y^2\) на \(z^2\), а \(xy\) на 300: \[z^2 + 600 = 3600 - 120z + z^2,\] \[120z = 3000,\] \[z = 25.\] Тогда \(x + y = 60 - 25 = 35\), и катеты находятся из системы \[\begin{cases} x + y = 35, \\ xy = 300 \end{cases}\] Выразим из первого уравнения \(y = 35 - x\) и подставим это выражение во второе уравнение: \[x(35 - x) = 300,\] \[x^2 - 35x + 300 = 0.\] \[D = (-35)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 300 = 1225 - 1200 = 25.\] \[x_1 = \frac{35 - 5}{2} = 15, \quad x_2 = \frac{35 + 5}{2} = 20.\] При \(x = 15\) получаем \(y = 20\), при \(x = 20\) получаем \(y = 15\). В обоих случаях катеты равны 15 дм и 20 дм, а гипотенуза равна 25 дм.
Ответ: 1) 15 см и 18 см; 2) 15 дм, 20 дм и 25 дм.
